Tính \(\int {\cos x\cos 2xdx}\)

Ta có \(\int {\cot 5xdx} = \int {\frac{{\cos 5x}}{{\sin 5x}}dx} \)

Đặt \(t = \sin 5x \Rightarrow dt = 5\cos 5xdx \Rightarrow \cos 5xdx = \frac{1}{5}dt\)

Khi đó \(\int {\frac{{\cos 5x}}{{\sin 5x}}dx} = \frac{1}{5}\int {\frac{{dt}}{t}} = \frac{1}{5}\ln \left| t \right| + C = \frac{1}{5}\ln \left| {\sin 5x} \right| + C\)

Để tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong, ta thực hiện các bước sau:

1. Tìm giao điểm của hai đường cong bằng cách giải phương trình hoành độ giao điểm.

2. Thiết lập tích phân để tính diện tích. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi \(y = f(x)\) và \(y = g(x)\) từ \(x = a\) đến \(x = b\) là \(S = \int_{a}^{b} |f(x) - g(x)| dx\).

Trong trường hợp này:

1. Tìm giao điểm của \(y = x^2 - x\) và \(x - y + 3 = 0\) hay \(y = x + 3\).

Giải phương trình \(x^2 - x = x + 3\) tương đương \(x^2 - 2x - 3 = 0\).

Phương trình này có hai nghiệm là \(x = -1\) và \(x = 3\).

2. Tính diện tích:

\(S = \int_{-1}^{3} |(x^2 - x) - (x + 3)| dx = \int_{-1}^{3} |x^2 - 2x - 3| dx\)

Vì \(x^2 - 2x - 3 \le 0\) trên đoạn \([-1, 3]\), ta có:

\(S = \int_{-1}^{3} -(x^2 - 2x - 3) dx = \int_{-1}^{3} (-x^2 + 2x + 3) dx\)

\(S = [-\frac{x^3}{3} + x^2 + 3x]_{-1}^{3} = (-\frac{3^3}{3} + 3^2 + 3*3) - (-\frac{(-1)^3}{3} + (-1)^2 + 3*(-1))\)

\(S = (-9 + 9 + 9) - (\frac{1}{3} + 1 - 3) = 9 - (\frac{1}{3} - 2) = 9 - \frac{1}{3} + 2 = 11 - \frac{1}{3} = \frac{32}{3}\)

Vậy diện tích hình phẳng là \(\frac{32}{3}\).

Ta có: \(\mathop {}\limits_{x \to + \infty } \ln 2x = + \infty \Rightarrow x + \ln 2x \sim x\)

Khi đó: \(\int\limits_2^{ + \infty } {\frac{{dx}}{{\sqrt {x + \ln 2x} }}} \sim \int\limits_2^{ + \infty } {\frac{{dx}}{{\sqrt x }}} \)

Mà \(\int\limits_2^{ + \infty } {\frac{{dx}}{{\sqrt x }}} = \mathop {\lim }\limits_{b \to + \infty } \int\limits_2^b {\frac{{dx}}{{\sqrt x }}} = \mathop {\lim }\limits_{b \to + \infty } \left. {2\sqrt x } \right|_2^b = \mathop {\lim }\limits_{b \to + \infty } \left( {2\sqrt b - 2\sqrt 2 } \right) = + \infty \Rightarrow \int\limits_2^{ + \infty } {\frac{{dx}}{{\sqrt x }}} \) phân kỳ.

Vậy \(\int\limits_2^{ + \infty } {\frac{{dx}}{{\sqrt {x + \ln 2x} }}}\) phân kỳ.