Xét sự hội tụ của tích phân suy rộng \(\int\limits_2^{ + \infty } {\frac{{dx}}{{\sqrt {x + \ln 2x} }}}\)

Ta có:
\(\int\limits_2^4 {\frac{{dx}}{{\sqrt {x - 2} }}} = \mathop {lim}\limits_{\varepsilon  \to {0^ + }} \int\limits_{2 + \varepsilon }^4 {\frac{{dx}}{{\sqrt {x - 2} }}} = \mathop {lim}\limits_{\varepsilon  \to {0^ + }} \left( {2\sqrt {x - 2} } \right)\left| {_{2 + \varepsilon }^4} \right. = \mathop {lim}\limits_{\varepsilon  \to {0^ + }} \left( {2\sqrt 2  - 2\sqrt {2 + \varepsilon  - 2} } \right) = 2\sqrt 2 } \)

Để tìm bán kính hội tụ của chuỗi \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{x^n}}}{{{2^n} + {4^n}}}}\), ta sử dụng tiêu chuẩn D'Alembert (tỉ số) hoặc Cauchy (căn). Ở đây, ta sẽ sử dụng tiêu chuẩn D'Alembert.

Xét \(a_n = \frac{x^n}{2^n + 4^n}\). Ta có:

\(\left| {\frac{a_{n+1}}{a_n}} \right| = \left| {\frac{{\frac{x^{n+1}}{2^{n+1} + 4^{n+1}}}}{{\frac{x^n}{2^n + 4^n}}}} \right| = \left| x \right| \cdot \frac{{2^n + 4^n}}{{2^{n+1} + 4^{n+1}}} = \left| x \right| \cdot \frac{{4^n(\frac{2^n}{4^n} + 1)}}{{4^{n+1}(\frac{2^{n+1}}{4^{n+1}} + 1)}} = \left| x \right| \cdot \frac{{4^n(\frac{1}{2^n} + 1)}}{{4^{n+1}(\frac{1}{2^{n+1}} + 1)}} = \frac{{\left| x \right|}}{4} \cdot \frac{{\frac{1}{2^n} + 1}}{{\frac{1}{2^{n+1}} + 1}}\)

Khi \(n \to \infty \), ta có:

\(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left| {\frac{a_{n+1}}{a_n}} \right| = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{\left| x \right|}}{4} \cdot \frac{{\frac{1}{2^n} + 1}}{{\frac{1}{2^{n+1}} + 1}} = \frac{{\left| x \right|}}{4} \cdot \frac{{0 + 1}}{{0 + 1}} = \frac{{\left| x \right|}}{4}\)

Để chuỗi hội tụ, ta cần \(\frac{{\left| x \right|}}{4} < 1 \Leftrightarrow \left| x \right| < 4\). Vậy bán kính hội tụ là r = 4.

Để khai triển Maclaurin của cosx đến x⁴, ta sử dụng công thức khai triển Maclaurin tổng quát:

\(f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{{f''(0)}}{{2!}}{x^2} + \frac{{f'''(0)}}{{3!}}{x^3} + \frac{{f^{(4)}(0)}}{{4!}}{x^4} + o({x^4})\)

Với f(x) = cosx, ta có:

• f(0) = cos(0) = 1
• f'(x) = -sinx => f'(0) = -sin(0) = 0
• f''(x) = -cosx => f''(0) = -cos(0) = -1
• f'''(x) = sinx => f'''(0) = sin(0) = 0
• f⁽⁴⁾(x) = cosx => f⁽⁴⁾(0) = cos(0) = 1

Thay vào công thức, ta được:

\(\cos x = 1 + 0*x + \frac{{ - 1}}{{2!}}{x^2} + \frac{0}{{3!}}{x^3} + \frac{1}{{4!}}{x^4} + o({x^4})\)

\(\cos x = 1 - \frac{{{x^2}}}{2} + \frac{{{x^4}}}{{24}} + o({x^5})\)

Vậy, đáp án đúng là:

\(1 - \frac{{{x^2}}}{2} + \frac{{{x^4}}}{{24}} + o({x^5})\)