Tính giới hạn sau: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{{{5.2}^n} - {{3.5}^{n + 1}}}}{{{{100.2}^n} + {{2.5}^n}}}\)

\(+\infty\)

\(\frac{{15}}{2}\)

\(-\frac{{15}}{2}\)

Trả lời:

Đáp án đúng: D

Để tính giới hạn này, ta chia cả tử và mẫu cho \({5^n}\):

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{{{5.2}^n} - {{3.5}^{n + 1}}}}{{{{100.2}^n} + {{2.5}^n}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{5{{\left( {\frac{2}{5}} \right)}^n} - 15}}{{{{100{{\left( {\frac{2}{5}} \right)}^n} + 2}}}\)

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {\left( {\frac{2}{5}} \right)^n} = 0\) nên:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{5{{\left( {\frac{2}{5}} \right)}^n} - 15}}{{{{100{{\left( {\frac{2}{5}} \right)}^n} + 2}}} = \frac{{0 - 15}}{{0 + 2}} = - \frac{{15}}{2}\)

Vậy, đáp án đúng là \(-\frac{{15}}{2}\).

100+ câu trắc nghiệm Toán cao cấp A1 có đáp án - Phần 3

Bộ câu hỏi trắc nghiệm ôn thi môn Toán cao cấp A1 có đáp án dành cho các bạn sinh viên Đại học - Cao đẳng ôn thi dễ dàng hơn. Mời các bạn cùng tham khảo!

30 câu hỏi 60 phút

Bắt đầu thi

Câu hỏi liên quan

Câu 15:

Tính giới hạn sau: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{{2^n} + {3^{ - n}}}}{{{2^{ - n}} - {3^n}}}\)

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Để tính giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{{2^n} + {3^{ - n}}}}{{{2^{ - n}} - {3^n}}}\), ta có thể chia cả tử và mẫu cho \(2^n\) hoặc \(3^n\). Tuy nhiên, chia cho \(3^n\) sẽ giúp đơn giản biểu thức hơn.

\(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{{2^n} + {3^{ - n}}}}{{{2^{ - n}} - {3^n}}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{\frac{{{2^n}}}{{{3^n}}} + \frac{{{3^{ - n}}}}{{{3^n}}}}}{{\frac{{{2^{ - n}}}}{{{3^n}}} - \frac{{{3^n}}}{{{3^n}}}}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^n} + {{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^{2n}}}}{{{{\left( {\frac{1}{6}} \right)}^n} - 1}}\)

Khi \(n \to \infty \), ta có \({\left( {\frac{2}{3}} \right)^n} \to 0\), \({\left( {\frac{1}{3}} \right)^{2n}} \to 0\) và \({\left( {\frac{1}{6}} \right)^n} \to 0\). Do đó,

\(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^n} + {{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^{2n}}}}{{{{\left( {\frac{1}{6}} \right)}^n} - 1}} = \frac{{0 + 0}}{{0 - 1}} = 0\)

Vậy, giới hạn của biểu thức là 0.

Câu 16:

Hàm số \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l} {e^{1/x}},\,\,x \ne 0\\ 0,\,\,\,\,\,\,\,x = 0 \end{array} \right.\) có \({{f'}_ + }(0)\)là:

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Ta có: \({f'_ + }(0) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{f(x) - f(0)}}{{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{{e^{\frac{1}{x}}}}}{x}\)

Đặt \(t = \frac{1}{x}\). Khi \(x \to {0^ + }\) thì \(t \to + \infty \).

Khi đó, \({f'_ + }(0) = \mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } t.{e^t} = + \infty \).

Câu 17:

Hàm số \(f(x) = {x^2} - 3\left| x \right| + 2\) có f'(0) là:

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Để tìm f'(0), ta cần xét đạo hàm của hàm số khi x tiến tới 0 từ bên trái và bên phải.

Ta có \(f(x) = {x^2} - 3\left| x \right| + 2\)

Khi x > 0: \(f(x) = x^2 - 3x + 2\) => \(f'(x) = 2x - 3\) => \(f'({0^ + }) = - 3\)

Khi x < 0: \(f(x) = x^2 + 3x + 2\) => \(f'(x) = 2x + 3\) => \(f'({0^ - }) = 3\)

Vì đạo hàm bên trái và bên phải tại x = 0 không bằng nhau, nên f'(0) không tồn tại.

Tuy nhiên, nếu câu hỏi yêu cầu tìm giới hạn của đạo hàm khi x tiến đến 0, ta có thể xem xét đạo hàm một phía.

Trong các đáp án đã cho, đáp án gần đúng nhất có thể là -3, nếu ta chỉ xét đạo hàm bên phải.

Câu 18:

Đạo hàm cấp n của hàm sin(ax) là:

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Công thức đạo hàm cấp n của sin(ax) là: (sin(ax))^(n) = a^n * sin(ax + n*pi/2). Vậy đáp án đúng là phương án 1.

Câu 19:

Tìm tiệm cận của hàm số: \(f(x) = \frac{x}{{1 + {e^{\frac{1}{x}}}}}\)

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Để tìm tiệm cận xiên của hàm số f(x) = x/(1 + e^(1/x)), ta tính giới hạn của f(x)/x khi x tiến tới vô cực, sau đó tính giới hạn của f(x) - ax khi x tiến tới vô cực. Kết quả là y = x/2 - 1/4.

Câu 20:

Tính giới hạn sau: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\cos 3x - \cos 7x}}{{{x^2}}}\)

Lời giải: