Nếu f(x) là hàm chẵn, tức là f(-x) = f(x) với mọi x. Khi đó, tích phân của f(x) trên đoạn [-a, a] có thể được tính như sau:
\(\int\limits_{ - a}^a {f(x)dx} = \int\limits_{ - a}^0 {f(x)dx} + \int\limits_0^a {f(x)dx} \)
Đặt x = -t trong tích phân thứ nhất, ta có dx = -dt. Khi x = -a thì t = a, và khi x = 0 thì t = 0. Do đó:
\(\int\limits_{ - a}^0 {f(x)dx} = \int\limits_a^0 {f( - t)( - dt)} = - \int\limits_a^0 {f( - t)dt} = \int\limits_0^a {f( - t)dt} \)
Vì f(x) là hàm chẵn nên f(-t) = f(t). Vậy:
\(\int\limits_{ - a}^0 {f(x)dx} = \int\limits_0^a {f(t)dt} = \int\limits_0^a {f(x)dx} \)
Do đó:
\(\int\limits_{ - a}^a {f(x)dx} = \int\limits_0^a {f(x)dx} + \int\limits_0^a {f(x)dx} = 2\int\limits_0^a {f(x)dx} \)
Vậy đáp án đúng là \(\int\limits_{ - a}^a {f(x)dx = 2\int\limits_0^a {f(x)dx} } \)
