Cho \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}{{\sqrt {4n({n^2} - 1)} }}} \). Chọn phát biểu đúng:

Để tìm bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{x^n}}}{{{5^n}}}} \), ta có thể sử dụng tiêu chuẩn D'Alembert (tỉ số). Gọi \(a_n = \frac{x^n}{5^n}\). Khi đó:

\(\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{x^{n+1}}{5^{n+1}} \cdot \frac{5^n}{x^n} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{x}{5} \right| = \left| \frac{x}{5} \right|\)

Để chuỗi hội tụ, ta cần \(\left| \frac{x}{5} \right| < 1\), tức là \(|x| < 5\). Do đó, bán kính hội tụ là r = 5.

Let \(t = \sqrt {{e^x}} \Rightarrow {t^2} = {e^x} \Rightarrow 2tdt = {e^x}dx \Rightarrow dx = \frac{{2tdt}}{{{e^x}}} = \frac{{2tdt}}{{{t^2}}} = \frac{{2dt}}{t}\). Change the bounds: \(\begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 1\\x = + \infty \Rightarrow t = + \infty \end{array}\) Then: \(\begin{array}{l}I = \int\limits_1^{ + \infty } {\frac{1}{{{t^2} + t}}.\frac{{2dt}}{t}} = 2\int\limits_1^{ + \infty } {\frac{1}{{{t^2}(t + 1)}}} dt = 2\int\limits_1^{ + \infty } {(\frac{1}{t} + \frac{1}{{{t^2}}} - \frac{1}{{t + 1}})} dt = 2\left. {\left( {ln\left| t \right| - \frac{1}{t} - ln\left| {t + 1} \right|} \right)} \right|_1^{ + \infty } = 2\left. {\left( {ln\left| {\frac{t}{{t + 1}}} \right| - \frac{1}{t}} \right)} \right|_1^{ + \infty } = 2\left[ {\mathop {lim }\limits_{t \to + \infty } \left( {ln\left| {\frac{t}{{t + 1}}} \right| - \frac{1}{t}} \right) - \left( {ln\left| {\frac{1}{2}} \right| - 1} \right)} \right] = 2\left[ {0 - (ln\frac{1}{2} - 1)} \right] = 2 - 2ln\frac{1}{2} = 2 + 2ln2 \end{array}\)

Để tính tích phân \(\int {\cos x\cos 2xdx}\), ta sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng:
\(\cos a \cos b = \frac{1}{2}[\cos(a+b) + \cos(a-b)]\)
Áp dụng công thức này, ta có:
\(\cos x \cos 2x = \frac{1}{2}[\cos(x+2x) + \cos(x-2x)] = \frac{1}{2}[\cos 3x + \cos(-x)] = \frac{1}{2}[\cos 3x + \cos x]\)
Vậy,
\(\int {\cos x\cos 2xdx} = \int {\frac{1}{2}(\cos 3x + \cos x)dx} = \frac{1}{2}\int {(\cos 3x + \cos x)dx} = \frac{1}{2}(\int {\cos 3xdx} + \int {\cos xdx})\)
Ta có:
\(\int {\cos 3xdx} = \frac{1}{3}\sin 3x + C_1\)
\(\int {\cos xdx} = \sin x + C_2\)
Do đó,
\(\int {\cos x\cos 2xdx} = \frac{1}{2}(\frac{1}{3}\sin 3x + \sin x) + C = \frac{1}{6}\sin 3x + \frac{1}{2}\sin x + C\)
Sử dụng công thức \(\sin 3x = 3\sin x - 4\sin^3 x\), ta có:
\(\frac{1}{6}\sin 3x + \frac{1}{2}\sin x = \frac{1}{6}(3\sin x - 4\sin^3 x) + \frac{1}{2}\sin x = \frac{1}{2}\sin x - \frac{2}{3}\sin^3 x + \frac{1}{2}\sin x = \sin x - \frac{2}{3}\sin^3 x\)
Vậy \(\int {\cos x\cos 2xdx} = - \frac{2}{3}\sin^3 x + \sin x + C\).
Vậy đáp án đúng là phương án C.

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = \frac{4}{x},y = 0,x = 3,x = 6\) được tính bằng tích phân xác định sau:
\[S = \int_{3}^{6} \frac{4}{x} dx = 4 \int_{3}^{6} \frac{1}{x} dx = 4 \ln|x| \Big|_{3}^{6} = 4(\ln 6 - \ln 3) = 4 \ln \frac{6}{3} = 4 \ln 2\]
Vậy, diện tích hình phẳng cần tìm là \(4 \ln 2\).