Tính tích phân suy rộng \(\int\limits_0^{ + \infty } {\frac{1}{{{e^x} + \sqrt {{e^x}} }}} dx\)
Trả lời:
Đáp án đúng: A
Để tính tích phân suy rộng \(\int\limits_0^{ + \infty } {\frac{1}{{{e^x} + \sqrt {{e^x}} }}} dx\), ta thực hiện các bước sau:
1. **Đặt ẩn phụ:** Đặt \(t = \sqrt{e^x}\), suy ra \(t^2 = e^x\). Khi đó \(2t dt = e^x dx\), hay \(dx = \frac{2t}{e^x} dt = \frac{2t}{t^2} dt = \frac{2}{t} dt\).
2. **Đổi cận:**
- Khi \(x = 0\), ta có \(t = \sqrt{e^0} = 1\).
- Khi \(x \to +\infty\), ta có \(t = \sqrt{e^x} \to +\infty\).
3. **Thay vào tích phân:**
\(\int\limits_0^{ + \infty } {\frac{1}{{{e^x} + \sqrt {{e^x}} }}} dx = \int\limits_1^{ + \infty } {\frac{1}{{{t^2} + t}} \cdot \frac{2}{t} dt} = 2\int\limits_1^{ + \infty } {\frac{1}{t(t+1)} dt}\)
4. **Phân tích thành phân thức đơn giản:**
Ta có \(\frac{1}{t(t+1)} = \frac{A}{t} + \frac{B}{t+1}\). Suy ra \(1 = A(t+1) + Bt\). Chọn \(t = 0\), ta được \(A = 1\). Chọn \(t = -1\), ta được \(B = -1\). Vậy \(\frac{1}{t(t+1)} = \frac{1}{t} - \frac{1}{t+1}\).
5. **Tính tích phân:**
\(2\int\limits_1^{ + \infty } {\left( {\frac{1}{t} - \frac{1}{t + 1}} \right)dt} = 2\mathop {\lim }\limits_{b \to + \infty } \int\limits_1^b {\left( {\frac{1}{t} - \frac{1}{t + 1}} \right)dt} = 2\mathop {\lim }\limits_{b \to + \infty } \left[ {ln|t| - ln|t + 1|} \right]_1^b\)
\(= 2\mathop {\lim }\limits_{b \to + \infty } \left[ {ln\left| {\frac{t}{{t + 1}}} \right|} \right]_1^b = 2\mathop {\lim }\limits_{b \to + \infty } \left( {ln\frac{b}{{b + 1}} - ln\frac{1}{2}} \right) = 2\left( {ln1 - ln\frac{1}{2}} \right) = 2(0 - ( - ln2)) = 2ln2\)
Vậy, tích phân suy rộng bằng \(2ln2\).
Bộ câu hỏi trắc nghiệm ôn thi môn Toán cao cấp A1 có đáp án dành cho các bạn sinh viên Đại học - Cao đẳng ôn thi dễ dàng hơn. Mời các bạn cùng tham khảo!
30 câu hỏi 60 phút
