Tính tích phân suy rộng \(\int\limits_0^{ + \infty } {\frac{1}{{{e^x} + \sqrt {{e^x}} }}} dx\)

Để tính tích phân \(\int {\cos x\cos 2xdx}\), ta sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng:
\(\cos a \cos b = \frac{1}{2}[\cos(a+b) + \cos(a-b)]\)
Áp dụng công thức này, ta có:
\(\cos x \cos 2x = \frac{1}{2}[\cos(x+2x) + \cos(x-2x)] = \frac{1}{2}[\cos 3x + \cos(-x)] = \frac{1}{2}[\cos 3x + \cos x]\)
Vậy,
\(\int {\cos x\cos 2xdx} = \int {\frac{1}{2}(\cos 3x + \cos x)dx} = \frac{1}{2}\int {(\cos 3x + \cos x)dx} = \frac{1}{2}(\int {\cos 3xdx} + \int {\cos xdx})\)
Ta có:
\(\int {\cos 3xdx} = \frac{1}{3}\sin 3x + C_1\)
\(\int {\cos xdx} = \sin x + C_2\)
Do đó,
\(\int {\cos x\cos 2xdx} = \frac{1}{2}(\frac{1}{3}\sin 3x + \sin x) + C = \frac{1}{6}\sin 3x + \frac{1}{2}\sin x + C\)
Sử dụng công thức \(\sin 3x = 3\sin x - 4\sin^3 x\), ta có:
\(\frac{1}{6}\sin 3x + \frac{1}{2}\sin x = \frac{1}{6}(3\sin x - 4\sin^3 x) + \frac{1}{2}\sin x = \frac{1}{2}\sin x - \frac{2}{3}\sin^3 x + \frac{1}{2}\sin x = \sin x - \frac{2}{3}\sin^3 x\)
Vậy \(\int {\cos x\cos 2xdx} = - \frac{2}{3}\sin^3 x + \sin x + C\).
Vậy đáp án đúng là phương án C.

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = \frac{4}{x},y = 0,x = 3,x = 6\) được tính bằng tích phân xác định sau:
\[S = \int_{3}^{6} \frac{4}{x} dx = 4 \int_{3}^{6} \frac{1}{x} dx = 4 \ln|x| \Big|_{3}^{6} = 4(\ln 6 - \ln 3) = 4 \ln \frac{6}{3} = 4 \ln 2\]
Vậy, diện tích hình phẳng cần tìm là \(4 \ln 2\).

Để tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong, ta cần tìm giao điểm của chúng và tính tích phân.

1. Tìm giao điểm:
Giải phương trình \({x^2} - x = x + 3\)
\(\Leftrightarrow {x^2} - 2x - 3 = 0\)
\(\Leftrightarrow (x - 3)(x + 1) = 0\)
Vậy giao điểm là \(x = -1\) và \(x = 3\).

2. Tính tích phân:
Diện tích hình phẳng là: \(S = \int_{ - 1}^3 |(x^2 - x) - (x - 3)| dx = \int_{ - 1}^3 |x^2 - 2x - 3| dx\)
Vì \(x^2 - 2x - 3 \le 0\) trên đoạn \([-1, 3]\), ta có:
\(S = \int_{ - 1}^3 -(x^2 - 2x - 3) dx = \int_{ - 1}^3 (-x^2 + 2x + 3) dx\)
\(S = [-\frac{{{x^3}}}{3} + {x^2} + 3x]_{-1}^3 = (-\frac{{27}}{3} + 9 + 9) - (\frac{1}{3} + 1 - 3) = (-9 + 18) - (\frac{1}{3} - 2) = 9 - (\frac{1}{3} - \frac{6}{3}) = 9 + \frac{5}{3} = \frac{{27}}{3} + \frac{5}{3} = \frac{{32}}{3}\)

Vậy diện tích hình phẳng là \(\frac{{32}}{3}\).

Để tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \({y^3} - x = 0,\,y = 1,\,x = 8\), ta cần xác định cận tích phân và hàm số cần tích phân. Từ phương trình \(y^3 - x = 0\), ta có \(x = y^3\). Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường \(x = y^3\), \(y = 1\) và \(x = 8\). Do \(x = y^3\), khi \(x = 8\) thì \(y^3 = 8\), suy ra \(y = 2\).

Diện tích cần tìm là tích phân từ y = 1 đến y = 2 của (8 - y^3) dy.

Ta có:
\(S = \int_1^2 (8 - y^3) dy = \left[8y - \frac{y^4}{4}\right]_1^2 = \left(8(2) - \frac{2^4}{4}\right) - \left(8(1) - \frac{1^4}{4}\right) = (16 - 4) - (8 - \frac{1}{4}) = 12 - 8 + \frac{1}{4} = 4 + \frac{1}{4} = \frac{16}{4} + \frac{1}{4} = \frac{17}{4}\)

Vậy diện tích hình phẳng là \(\frac{{17}}{4}\).