Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \({y^3} - x = 0,\,y = 1,\,x = 8\)

\(\frac{{21}}{4}\)

\(\frac{{17}}{4}\)

\(\frac{{1}}{4}\)

\(\frac{{81}}{4}\)

Trả lời:

Đáp án đúng: B

Để tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \({y^3} - x = 0,\,y = 1,\,x = 8\), ta cần xác định cận tích phân và hàm số cần tích phân. Từ phương trình \(y^3 - x = 0\), ta có \(x = y^3\). Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường \(x = y^3\), \(y = 1\) và \(x = 8\). Do \(x = y^3\), khi \(x = 8\) thì \(y^3 = 8\), suy ra \(y = 2\). Diện tích cần tìm là tích phân từ y = 1 đến y = 2 của (8 - y^3) dy. Ta có: \(S = \int_1^2 (8 - y^3) dy = \left[8y - \frac{y^4}{4}\right]_1^2 = \left(8(2) - \frac{2^4}{4}\right) - \left(8(1) - \frac{1^4}{4}\right) = (16 - 4) - (8 - \frac{1}{4}) = 12 - 8 + \frac{1}{4} = 4 + \frac{1}{4} = \frac{16}{4} + \frac{1}{4} = \frac{17}{4}\) Vậy diện tích hình phẳng là \(\frac{{17}}{4}\).

100+ câu trắc nghiệm Toán cao cấp A1 có đáp án - Phần 3

Bộ câu hỏi trắc nghiệm ôn thi môn Toán cao cấp A1 có đáp án dành cho các bạn sinh viên Đại học - Cao đẳng ôn thi dễ dàng hơn. Mời các bạn cùng tham khảo!

30 câu hỏi 60 phút

Bắt đầu thi

Câu hỏi liên quan

Câu 6:

Xét sự hội tụ của tích phân suy rộng \(\int\limits_2^{ + \infty } {\frac{{dx}}{{\sqrt {x + \ln 2x} }}}\)

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Câu 7:

Tích phân suy rộng \(\int\limits_2^4 {\frac{{dx}}{{\sqrt {x - 2} }}}\) có giá trị là:

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Câu 8:

Cho chuỗi \(\sum\limits_{n = 1}^n {{3^n}}\). Chọn phát biểu đúng?

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Chuỗi số \(\sum\limits_{n = 1}^\infty 3^n\) là một chuỗi số dương, trong đó mỗi số hạng là \(3^n\). Ta có thể thấy rằng các số hạng của chuỗi tăng lên rất nhanh khi \(n\) tăng. Điều này có nghĩa là tổng của chuỗi sẽ không hội tụ về một giá trị hữu hạn.

Để chứng minh chuỗi phân kỳ, ta có thể sử dụng tiêu chuẩn so sánh hoặc tiêu chuẩn D'Alembert (tỉ số). Ở đây, ta dùng tiêu chuẩn D'Alembert:

Xét \(a_n = 3^n\), ta có:
\(\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{3^{n+1}}{3^n} = \lim_{n \to \infty} 3 = 3 > 1\)

Vì giới hạn này lớn hơn 1, theo tiêu chuẩn D'Alembert, chuỗi \(\sum\limits_{n = 1}^\infty 3^n\) phân kỳ.

Do đó, phát biểu đúng là "Chuỗi phân kỳ".

Câu 9:

Cho chuỗi \({\sum\limits_{n = 1}^\infty {\left( {\frac{{3n + 1}}{{{3^n}}}} \right)} ^n}\). Chọn phát biểu đúng?

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Xét chuỗi số \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {\left( {\frac{{3n + 1}}{{{3^n}}}} \right)} ^n\).
Ta sử dụng tiêu chuẩn Cauchy để xét sự hội tụ của chuỗi.
Đặt \(a_n = {\left( {\frac{{3n + 1}}{{{3^n}}}} \right)} ^n\).
Khi đó, \(\sqrt[n]{{\left| {{a_n}} \right|}} = \sqrt[n]{{\left| {{{\left( {\frac{{3n + 1}}{{{3^n}}}} \right)}^n}} \right|}} = \frac{{3n + 1}}{{{3^n}}}\).
Tính giới hạn:
\(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sqrt[n]{{\left| {{a_n}} \right|}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{3n + 1}}{{{3^n}}} = 0 < 1\).
Vậy, chuỗi hội tụ theo tiêu chuẩn Cauchy.

Câu 10:

Bán kính hội tụ của chuỗi \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{x^n}}}{{{2^n} + {4^n}}}}\) là:

Lời giải:

Đáp án đúng: A

The radius of convergence, R, of the power series ∑ (x^n / (2^n + 4^n)) can be found using the ratio test or the root test. Using the root test: 1/R = lim (n→∞) |a_n|^(1/n) where a_n = 1 / (2^n + 4^n). So, 1/R = lim (n→∞) (1 / (2^n + 4^n))^(1/n) = lim (n→∞) 1 / (2^n + 4^n)^(1/n). Since 4^n < 2^n + 4^n < 2 * 4^n, we have (4^n)^(1/n) < (2^n + 4^n)^(1/n) < (2 * 4^n)^(1/n), which simplifies to 4 < (2^n + 4^n)^(1/n) < 4 * 2^(1/n). As n approaches infinity, 2^(1/n) approaches 1. Therefore, lim (n→∞) (2^n + 4^n)^(1/n) = 4. Thus, 1/R = 1/4, which implies R = 4. The radius of convergence is 4.

Câu 11:

Khai triển Maclaurin của cosx đến x⁴

Lời giải: