Bán kính hội tụ của chuỗi \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{x^n}}}{{{2^n} + {4^n}}}}\) là:

Để khai triển Maclaurin của cosx đến x⁴, ta sử dụng công thức khai triển Maclaurin tổng quát:

\(f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{{f''(0)}}{{2!}}{x^2} + \frac{{f'''(0)}}{{3!}}{x^3} + \frac{{f^{(4)}(0)}}{{4!}}{x^4} + o({x^4})\)

Với f(x) = cosx, ta có:

• f(0) = cos(0) = 1
• f'(x) = -sinx => f'(0) = -sin(0) = 0
• f''(x) = -cosx => f''(0) = -cos(0) = -1
• f'''(x) = sinx => f'''(0) = sin(0) = 0
• f⁽⁴⁾(x) = cosx => f⁽⁴⁾(0) = cos(0) = 1

Thay vào công thức, ta được:

\(\cos x = 1 + 0*x + \frac{{ - 1}}{{2!}}{x^2} + \frac{0}{{3!}}{x^3} + \frac{1}{{4!}}{x^4} + o({x^4})\)

\(\cos x = 1 - \frac{{{x^2}}}{2} + \frac{{{x^4}}}{{24}} + o({x^5})\)

Vậy, đáp án đúng là:

\(1 - \frac{{{x^2}}}{2} + \frac{{{x^4}}}{{24}} + o({x^5})\)

Ta có:
\(I = \int {\frac{{2dx}}{{\sqrt {{x^2} + 4x + 5} }}} = 2\int {\frac{{dx}}{{\sqrt {{{(x + 2)}^2} + 1} }}} \)
Đặt \(x + 2 = \tan t \Rightarrow dx = \frac{{dt}}{{{{\cos }^2}t}}\). Khi đó:
\(I = 2\int {\frac{{\frac{{dt}}{{{{\cos }^2}t}}}}{{\sqrt {{\tan }^2t + 1} }}} = 2\int {\frac{{\frac{{dt}}{{{{\cos }^2}t}}}}{{\frac{1}{{\cos t}}}}} = 2\int {\frac{{dt}}{{\cos t}}} = 2\int {\frac{{\cos tdt}}{{{{\cos }^2}t}}} = 2\int {\frac{{\cos tdt}}{{1 - {{\sin }^2}t}}} \)
\( = \int {\left( {\frac{{\cos t}}{{1 - \sin t}} + \frac{{\cos t}}{{1 + \sin t}}} \right)dt} = - 2\ln \left| {1 - \sin t} \right| + 2\ln \left| {1 + \sin t} \right| + C = 2\ln \left| {\frac{{1 + \sin t}}{{1 - \sin t}}} \right| + C\)
\( = 2\ln \left| {\frac{{1 + \frac{{x + 2}}{{\sqrt {{{(x + 2)}^2} + 1} }}}{{1 - \frac{{x + 2}}{{\sqrt {{{(x + 2)}^2} + 1} }}}}} \right| + C = 2\ln \left| {\frac{{\sqrt {{{(x + 2)}^2} + 1} + x + 2}}{{\sqrt {{{(x + 2)}^2} + 1} - x - 2}}} \right| + C\)
\( = 2\ln \left| {x + 2 + \sqrt {{x^2} + 4x + 5} } \right| + C\)

Để tính giới hạn này, ta chia cả tử và mẫu cho \({5^n}\):

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{{{5.2}^n} - {{3.5}^{n + 1}}}}{{{{100.2}^n} + {{2.5}^n}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{5{{\left( {\frac{2}{5}} \right)}^n} - 15}}{{{{100{{\left( {\frac{2}{5}} \right)}^n} + 2}}}\)

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {\left( {\frac{2}{5}} \right)^n} = 0\) nên:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{5{{\left( {\frac{2}{5}} \right)}^n} - 15}}{{{{100{{\left( {\frac{2}{5}} \right)}^n} + 2}}} = \frac{{0 - 15}}{{0 + 2}} = - \frac{{15}}{2}\)

Vậy, đáp án đúng là \(-\frac{{15}}{2}\).