Tìm tiệm cận của hàm số: \(f(x) = \frac{x}{{1 + {e^{\frac{1}{x}}}}}\)

Khi x > 0, ta có |x| = x. Vậy, f(x) = x² - 3x + 2.

Tính đạo hàm f'(x) = 2x - 3.

Nếu f(x) là hàm chẵn, tức là f(-x) = f(x) với mọi x. Khi đó, tích phân của f(x) trên đoạn [-a, a] có thể được tính như sau:

\(\int\limits_{ - a}^a {f(x)dx} = \int\limits_{ - a}^0 {f(x)dx} + \int\limits_0^a {f(x)dx} \)

Đặt x = -t trong tích phân thứ nhất, ta có dx = -dt. Khi x = -a thì t = a, và khi x = 0 thì t = 0. Do đó:

\(\int\limits_{ - a}^0 {f(x)dx} = \int\limits_a^0 {f( - t)( - dt)} = - \int\limits_a^0 {f( - t)dt} = \int\limits_0^a {f( - t)dt} \)

Vì f(x) là hàm chẵn nên f(-t) = f(t). Vậy:

\(\int\limits_{ - a}^0 {f(x)dx} = \int\limits_0^a {f(t)dt} = \int\limits_0^a {f(x)dx} \)

Do đó:

\(\int\limits_{ - a}^a {f(x)dx} = \int\limits_0^a {f(x)dx} + \int\limits_0^a {f(x)dx} = 2\int\limits_0^a {f(x)dx} \)

Vậy đáp án đúng là \(\int\limits_{ - a}^a {f(x)dx = 2\int\limits_0^a {f(x)dx} } \)

Xét các phương án:

• Phương án A: Sai. Ví dụ, xét \(f(x) = 0\) và \(g(x) = 1\) trên \([0,1]\). Khi đó \(\forall x \in [0,1], f(x) < g(x)\), nhưng \(\int_0^1 f(x) dx = 0 < 1 = \int_0^1 g(x) dx\).
• Phương án B: Đúng. Nếu \(\forall x \in [a, b], f(x) \le g(x)\) thì \(\int_a^b f(x) dx \le \int_a^b g(x) dx\).
• Phương án C: Sai. Không có cơ sở để so sánh \(\int_a^b f(x)g(x) dx\) và \(\int_a^b g(x) dx\).
• Phương án D: Sai. Vế trái không có \(\forall x \in [a, b]\) và vế phải của suy ra bị lặp lại.

Vậy đáp án đúng là phương án B.