Tính tích phân suy rộng \(\int\limits_2^{ + \infty } {\frac{{({x^2} + 1)}}{{x{{(x - 1)}^3}}}} dx\)

Để tính tích phân suy rộng \(\int\limits_2^{ + \infty } {\frac{{({x^2} + 1)}}{{x{{(x - 1)}^3}}}} dx\), ta thực hiện các bước sau:

1. Phân tích hàm số hữu tỉ:

Phân tích hàm số \(\frac{{x^2 + 1}}{{x(x-1)^3}}\) thành các phân số đơn giản:

\(\frac{{x^2 + 1}}{{x(x-1)^3}} = \frac{A}{x} + \frac{B}{{x-1}} + \frac{C}{{(x-1)^2}} + \frac{D}{{(x-1)^3}}\)

Quy đồng mẫu số và giải hệ phương trình để tìm A, B, C, D.

\(x^2 + 1 = A(x-1)^3 + Bx(x-1)^2 + Cx(x-1) + Dx\)

Chọn các giá trị đặc biệt của x:

* x = 0: \(1 = A(-1)^3 \Rightarrow A = -1\)

* x = 1: \(2 = D \Rightarrow D = 2\)

Thay A = -1 và D = 2 vào phương trình và đồng nhất các hệ số của \(x^3, x^2, x\):

\(x^2 + 1 = -1(x^3 - 3x^2 + 3x - 1) + Bx(x^2 - 2x + 1) + Cx(x-1) + 2x\)

\(x^2 + 1 = -x^3 + 3x^2 - 3x + 1 + Bx^3 - 2Bx^2 + Bx + Cx^2 - Cx + 2x\)

Đồng nhất hệ số \(x^3\): \(0 = -1 + B \Rightarrow B = 1\)

Đồng nhất hệ số \(x^2\): \(1 = 3 - 2B + C \Rightarrow 1 = 3 - 2 + C \Rightarrow C = 0\)

Vậy ta có: \(A = -1, B = 1, C = 0, D = 2\)

\(\frac{{x^2 + 1}}{{x(x-1)^3}} = -\frac{1}{x} + \frac{1}{{x-1}} + \frac{2}{{(x-1)^3}}\)

2. Tính tích phân:

\(\int\limits_2^{ + \infty } {\frac{{x^2 + 1}}{{x(x-1)^3}}} dx = \int\limits_2^{ + \infty } {\left( { - \frac{1}{x} + \frac{1}{{x-1}} + \frac{2}{{(x-1)^3}}} \right)} dx\)

\(= \left[ { - \ln |x| + \ln |x-1| - \frac{1}{{(x-1)^2}}} \right]_2^{ + \infty }\)

\(= \left[ {\ln \left| {\frac{{x-1}}{x}} \right| - \frac{1}{{(x-1)^2}}} \right]_2^{ + \infty }\)

Tính giới hạn khi \(x \to +\infty\):

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \ln \left| {\frac{{x-1}}{x}} \right| = \ln (1) = 0\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{1}{{(x-1)^2}} = 0\)

Thay cận:

\(= (0 - 0) - \left( {\ln \left| {\frac{{2-1}}{2}} \right| - \frac{1}{{(2-1)^2}}} \right)\)

\(= - \left( {\ln \frac{1}{2} - 1} \right) = - \ln \frac{1}{2} + 1 = - ( - \ln 2) + 1 = \ln 2 + 1 = 1 + \ln 2\)

Vậy, \(\int\limits_2^{ + \infty } {\frac{{x^2 + 1}}{{x{{(x - 1)}^3}}}} dx = 1 + \ln 2\)