Mệnh đề nào sau đây đúng:

\((\forall x \in \left[ {a,b} \right])f(x) < g(x) \Rightarrow \int\limits_a^b {f(x)dx} > \int\limits_a^b {g(x)dx} \)

\((\forall x \in \left[ {a,b} \right])f(x) \le g(x) \Rightarrow \int\limits_a^b {f(x)dx} \le \int\limits_a^b {g(x)dx} \)

\((\forall x \in \left[ {a,b} \right])f(x) \le g(x) \Rightarrow \int\limits_a^b {f(x)g(x)dx} \le \int\limits_a^b {g(x)dx} \)

\(f(x) \le g(x) \Rightarrow \int\limits_a^b {g(x)dx} \le \int\limits_a^b {g(x)dx} \)

Trả lời:

Đáp án đúng: B

Xét các phương án:

Phương án A: Sai. Ví dụ, xét \(f(x) = 0\) và \(g(x) = 1\) trên \([0,1]\). Khi đó \(\forall x \in [0,1], f(x) < g(x)\), nhưng \(\int_0^1 f(x) dx = 0 < 1 = \int_0^1 g(x) dx\).
Phương án B: Đúng. Nếu \(\forall x \in [a, b], f(x) \le g(x)\) thì \(\int_a^b f(x) dx \le \int_a^b g(x) dx\).
Phương án C: Sai. Không có cơ sở để so sánh \(\int_a^b f(x)g(x) dx\) và \(\int_a^b g(x) dx\).
Phương án D: Sai. Vế trái không có \(\forall x \in [a, b]\) và vế phải của suy ra bị lặp lại.

Vậy đáp án đúng là phương án B.

100+ câu trắc nghiệm Toán cao cấp A1 có đáp án - Phần 3

Bộ câu hỏi trắc nghiệm ôn thi môn Toán cao cấp A1 có đáp án dành cho các bạn sinh viên Đại học - Cao đẳng ôn thi dễ dàng hơn. Mời các bạn cùng tham khảo!

30 câu hỏi 60 phút

Bắt đầu thi

Câu hỏi liên quan

Câu 25:

Tính tích phân suy rộng \(\int\limits_1^{ + \infty } {\frac{{dx}}{{{{(2x + 3)}^2}}}} \)

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Để tính tích phân suy rộng \(\int\limits_1^{ + \infty } {\frac{{dx}}{{{{(2x + 3)}^2}}}} \), ta thực hiện các bước sau:

1. Tính tích phân không xác định:
Ta có \(\int {\frac{{dx}}{{{{(2x + 3)}^2}}}} = - \frac{1}{{2(2x + 3)}}} + C\), với C là hằng số tích phân.

2. Tính tích phân suy rộng:
\(\int\limits_1^{ + \infty } {\frac{{dx}}{{{{(2x + 3)}^2}}}} = \mathop {lim}\limits_{b \to + \infty } \int\limits_1^b {\frac{{dx}}{{{{(2x + 3)}^2}}}} = \mathop {lim}\limits_{b \to + \infty } \left[ { - \frac{1}{{2(2x + 3)}}} \right]_1^b = \mathop {lim}\limits_{b \to + \infty } \left( { - \frac{1}{{2(2b + 3)}} + \frac{1}{{2(2.1 + 3)}}} \right)\)

3. Tính giới hạn:
Khi \(b \to + \infty \), \(\frac{1}{{2(2b + 3)}} \to 0\). Vậy,
\(\int\limits_1^{ + \infty } {\frac{{dx}}{{{{(2x + 3)}^2}}}} = 0 + \frac{1}{{2(2 + 3)}} = \frac{1}{{10}}\)

Vậy, tích phân suy rộng bằng \(\frac{1}{{10}}\).

Câu 26:

Tính tích phân suy rộng \(\int\limits_2^{ + \infty } {\frac{{({x^2} + 1)}}{{x{{(x - 1)}^3}}}} dx\)

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Để tính tích phân suy rộng \(\int\limits_2^{ + \infty } {\frac{{({x^2} + 1)}}{{x{{(x - 1)}^3}}}} dx\), ta thực hiện các bước sau:

1. Phân tích hàm số hữu tỉ:

Phân tích hàm số \(\frac{{x^2 + 1}}{{x(x-1)^3}}\) thành các phân số đơn giản:

\(\frac{{x^2 + 1}}{{x(x-1)^3}} = \frac{A}{x} + \frac{B}{{x-1}} + \frac{C}{{(x-1)^2}} + \frac{D}{{(x-1)^3}}\)

Quy đồng mẫu số và giải hệ phương trình để tìm A, B, C, D.

\(x^2 + 1 = A(x-1)^3 + Bx(x-1)^2 + Cx(x-1) + Dx\)

Chọn các giá trị đặc biệt của x:

* x = 0: \(1 = A(-1)^3 \Rightarrow A = -1\)

* x = 1: \(2 = D \Rightarrow D = 2\)

Thay A = -1 và D = 2 vào phương trình và đồng nhất các hệ số của \(x^3, x^2, x\):

\(x^2 + 1 = -1(x^3 - 3x^2 + 3x - 1) + Bx(x^2 - 2x + 1) + Cx(x-1) + 2x\)

\(x^2 + 1 = -x^3 + 3x^2 - 3x + 1 + Bx^3 - 2Bx^2 + Bx + Cx^2 - Cx + 2x\)

Đồng nhất hệ số \(x^3\): \(0 = -1 + B \Rightarrow B = 1\)

Đồng nhất hệ số \(x^2\): \(1 = 3 - 2B + C \Rightarrow 1 = 3 - 2 + C \Rightarrow C = 0\)

Vậy ta có: \(A = -1, B = 1, C = 0, D = 2\)

\(\frac{{x^2 + 1}}{{x(x-1)^3}} = -\frac{1}{x} + \frac{1}{{x-1}} + \frac{2}{{(x-1)^3}}\)

2. Tính tích phân:

\(\int\limits_2^{ + \infty } {\frac{{x^2 + 1}}{{x(x-1)^3}}} dx = \int\limits_2^{ + \infty } {\left( { - \frac{1}{x} + \frac{1}{{x-1}} + \frac{2}{{(x-1)^3}}} \right)} dx\)

\(= \left[ { - \ln |x| + \ln |x-1| - \frac{1}{{(x-1)^2}}} \right]_2^{ + \infty }\)

\(= \left[ {\ln \left| {\frac{{x-1}}{x}} \right| - \frac{1}{{(x-1)^2}}} \right]_2^{ + \infty }\)

Tính giới hạn khi \(x \to +\infty\):

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \ln \left| {\frac{{x-1}}{x}} \right| = \ln (1) = 0\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{1}{{(x-1)^2}} = 0\)

Thay cận:

\(= (0 - 0) - \left( {\ln \left| {\frac{{2-1}}{2}} \right| - \frac{1}{{(2-1)^2}}} \right)\)

\(= - \left( {\ln \frac{1}{2} - 1} \right) = - \ln \frac{1}{2} + 1 = - ( - \ln 2) + 1 = \ln 2 + 1 = 1 + \ln 2\)

Vậy, \(\int\limits_2^{ + \infty } {\frac{{x^2 + 1}}{{x{{(x - 1)}^3}}}} dx = 1 + \ln 2\)

Câu 27:

Tính tích phân \(\int\limits_{\sqrt 7 }^4 {\frac{{dx}}{{\sqrt {{x^2} + 9} }}} \)

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Để tính tích phân \(\int\limits_{\sqrt 7 }^4 {\frac{{dx}}{{\sqrt {{x^2} + 9} }}} \), ta sử dụng công thức tích phân \(\int {\frac{{dx}}{{\sqrt {{x^2} + {a^2}} }}} = \ln (x + \sqrt {{x^2} + {a^2}} ) + C\). Trong trường hợp này, \(a = 3\).

Vậy, \(\int\limits_{\sqrt 7 }^4 {\frac{{dx}}{{\sqrt {{x^2} + 9} }}} = \left. {\ln (x + \sqrt {{x^2} + 9} )} \right|_{\sqrt 7 }^4 = \ln (4 + \sqrt {16 + 9} ) - \ln (\sqrt 7 + \sqrt {7 + 9} ) = \ln (4 + 5) - \ln (\sqrt 7 + 4) = \ln 9 - \ln (4 + \sqrt 7 ) = \ln \frac{9}{{4 + \sqrt 7 }} = \ln \frac{{{3^2}}}{{4 + \sqrt 7 }} = 2\ln \frac{3}{{4 + \sqrt 7 }}\).

Vậy đáp án đúng là \( 2\ln \frac{3}{{4 + \sqrt 7 }}\).

Câu 28:

Cho \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}{{\sqrt {4n({n^2} - 1)} }}} \). Chọn phát biểu đúng:

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Ta có \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}{{\sqrt {4n({n^2} - 1)} }}} = \sum\limits_{n = 2}^\infty {\frac{1}{{\sqrt {4n({n^2} - 1)} }}}\) (do n=1 thì biểu thức không xác định).
Nhận thấy \(\frac{1}{{\sqrt {4n({n^2} - 1)} }} = \frac{1}{{\sqrt {4n(n-1)(n+1)} }}\) luôn dương với mọi n \(\ge\) 2.
Ta có thể so sánh chuỗi này với một chuỗi p-chuỗi.
\(\frac{1}{{\sqrt {4n({n^2} - 1)} }} \sim \frac{1}{{\sqrt {4n^3} }} = \frac{1}{{2n^{3/2}}}\) khi n đủ lớn.
Xét chuỗi \(\sum\limits_{n=2}^\infty \frac{1}{{2n^{3/2}}}\), đây là một p-chuỗi với p = 3/2 > 1, do đó chuỗi này hội tụ.
Theo tiêu chuẩn so sánh giới hạn, chuỗi đã cho cũng hội tụ.
Vậy, phát biểu đúng là chuỗi hội tụ.

Câu 29:

Bán kính hội tụ của chuỗi \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{x^n}}}{{{5^n}}}} \) là:

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Để tìm bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{x^n}}}{{{5^n}}}} \), ta có thể sử dụng tiêu chuẩn D'Alembert (tỉ số). Gọi \(a_n = \frac{x^n}{5^n}\). Khi đó:

\(\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{x^{n+1}}{5^{n+1}} \cdot \frac{5^n}{x^n} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{x}{5} \right| = \left| \frac{x}{5} \right|\)

Để chuỗi hội tụ, ta cần \(\left| \frac{x}{5} \right| < 1\), tức là \(|x| < 5\). Do đó, bán kính hội tụ là r = 5.

Câu 30:

Tính tích phân suy rộng \(\int\limits_0^{ + \infty } {\frac{1}{{{e^x} + \sqrt {{e^x}} }}} dx\)

Lời giải: