Tính tích phân \(I = \int {\frac{{2dx}}{{\sqrt {{x^2} + 4x + 5} }}}\)

Để tính giới hạn này, ta chia cả tử và mẫu cho \({5^n}\):

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{{{5.2}^n} - {{3.5}^{n + 1}}}}{{{{100.2}^n} + {{2.5}^n}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{5{{\left( {\frac{2}{5}} \right)}^n} - 15}}{{{{100{{\left( {\frac{2}{5}} \right)}^n} + 2}}}\)

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {\left( {\frac{2}{5}} \right)^n} = 0\) nên:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{5{{\left( {\frac{2}{5}} \right)}^n} - 15}}{{{{100{{\left( {\frac{2}{5}} \right)}^n} + 2}}} = \frac{{0 - 15}}{{0 + 2}} = - \frac{{15}}{2}\)

Vậy, đáp án đúng là \(-\frac{{15}}{2}\).

Ta có: \({f'_ + }(0) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{f(x) - f(0)}}{{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{{e^{\frac{1}{x}}}}}{x}\)

Đặt \(t = \frac{1}{x}\). Khi \(x \to {0^ + }\) thì \(t \to + \infty \).

Khi đó, \({f'_ + }(0) = \mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } t.{e^t} = + \infty \).

Để tìm f'(0), ta cần xét đạo hàm của hàm số khi x tiến tới 0 từ bên trái và bên phải.

Ta có \(f(x) = {x^2} - 3\left| x \right| + 2\)

Khi x > 0: \(f(x) = x^2 - 3x + 2\) => \(f'(x) = 2x - 3\) => \(f'({0^ + }) = - 3\)

Khi x < 0: \(f(x) = x^2 + 3x + 2\) => \(f'(x) = 2x + 3\) => \(f'({0^ - }) = 3\)

Vì đạo hàm bên trái và bên phải tại x = 0 không bằng nhau, nên f'(0) không tồn tại.

Tuy nhiên, nếu câu hỏi yêu cầu tìm giới hạn của đạo hàm khi x tiến đến 0, ta có thể xem xét đạo hàm một phía.

Trong các đáp án đã cho, đáp án gần đúng nhất có thể là -3, nếu ta chỉ xét đạo hàm bên phải.