Xét hai số phức \({{z}_{1}},{{z}_{2}}\) thỏa mãn \(\left| {{z}_{1}} \right|=2,\left| \left( 1-i \right){{z}_{2}} \right|=\sqrt{6}\) và \(\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=\sqrt{5}\). Giá trị lớn nhất \(\left| 2{{z}_{1}}+{{z}_{2}}-2021 \right|\) bằng
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐặt \({{z}_{1}}=a+bi,{{z}_{2}}=c+di\) với \(a,b,c,d\in \mathbb{R}.\) Theo giả thiết thì
\(\left| {{z}_{1}} \right|=1\Rightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=4\)
\(\left| \left( 1-i \right){{z}_{2}} \right|=\sqrt{6}\Leftrightarrow \left| {{z}_{2}} \right|=\frac{\sqrt{6}}{\left| 1-i \right|}=\sqrt{3} \Rightarrow {{c}^{2}}+{{d}^{2}}=3\)
\(\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=\sqrt{5}\Rightarrow {{\left( a-c \right)}^{2}}+{{\left( b-d \right)}^{2}}=5\)
Do đó \({{a}^{2}}-2ac+{{c}^{2}}+{{b}^{2}}-2bd+{{d}^{2}}=5\Rightarrow ac+bd=1\)
Ta có \(2{{z}_{1}}+{{z}_{2}}=\left( 2a+c \right)+\left( 2b+d \right)i\) nên
\({{\left| 2{{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|}^{2}}={{\left( 2a+c \right)}^{2}}+{{\left( 2b+d \right)}^{2}}=4\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)+\left( {{c}^{2}}+{{d}^{2}} \right)+4\left( ac+bd \right)=23\)
Áp dụng bất đẳng thức \(\left| z+{z}' \right|\le \left| z \right|+\left| {{z}'} \right|\), ta có
\(\left| 2{{z}_{1}}+{{z}_{2}}-2021 \right|\le \left| 2{{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|+\left| -2021 \right|=\sqrt{23}+2021.\)
Đề thi thử THPT QG năm 2021 môn Toán
Trường THPT Gò Vấp lần 2
Câu hỏi liên quan
-
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm \(C\left( -1;2;11 \right),H(-1;2;-1)\), hình nón \(\left( N \right)\) có đường cao CH=h và bán kính đáy là \(R=3\sqrt{2}\). Gọi M là điểm trên đoạn CH,\(\left( C \right)\) là thiết diện của mặt phẳng \(\left( P \right)\) vuông góc với trục CH tại M của hình nón \(\left( N \right)\,.\) Gọi \(\left( {{N}'} \right)\,\) là khối nón có đỉnh H đáy là \(\left( C \right)\). Khi thể tích khối nón \(\left( {{N}'} \right)\,\) lớn nhất thì mặt cầu ngoại tiếp nón \(\left( {{N}'} \right)\,\) có tọa độ tâm \(I\left( a;b,c \right),\) bán kính là d. Giá trị a+b+c+d bằng
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)=\sin 2x\). Trong các khằng định sau, khẳng định nào đúng?
-
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( P \right):x-2y+3z+2=0\) và đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right)\). Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của d?
-
Trong không gian Oxyz, đường thẳng đi qua điểm \(A\left( -4;1;-3 \right)\) và \(B\left( 0;-1;1 \right)\) có phương trình tham số là:
-
Cho số phức z=2-3i. Môđun của số phức \(\left( 1+i \right)\bar{z}\) bằng
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau
.PNG)
Hàmsố \(f\left( x \right)\) đạt cực đại tại điểm
-
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm \(A\left( 3;3;1 \right), B\left( 0;2;1 \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x+y+z-7=0.\) Đường thẳng d nằm trong \(\left( P \right)\) sao cho mọi điểm của d cách đều hai điểm \(A,\text{ }B\) có phương trình là các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
-
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu \(\left( S \right)\) có phương trình: \({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x-4y+4z-7=0\). Xác định tọa độ tâm I và bán kính R của mặt cầu \(\left( S \right)\).
-
Số phức liên hợp của số phức \(z=2-3i\) là:
-
Nghiệm dương của phương trình \({7^{{x^2} + 1}} = 16807\) là
-
Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số \(y=2{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-12x+2\) trên đoạn \(\left[ -1;2 \right].\)
-
Tập nghiệm của bất phương trình \({\left( {7 + 4\sqrt 3 } \right)^{a - 1}} < 7 - 4\sqrt 3 \) là
-
Trong một lớp học gồm 15 học sinh nam và 10 học sinh nữ. Giáo viên gọi ngẫu nhiên 4 học sinh lên giải bài tập. Tính xác suất để 4 học sinh được gọi đó có cả nam và nữ?
-
Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn \(\left| z \right|=\left| z+\bar{z} \right|=1\)?
-
Một khối nón tròn xoay có chiều cao \(h=6\text{ cm}\) và bán kính đáy \(r=5\text{ cm}\). Khi đó thể tích khối nón là:
-
Thể tích của khối hộp chữ nhật có ba kích thước 5; 7; 8 bằng
-
Có bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số đôi một khác nhau?
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) là hàm số bậc bốn thỏa mãn \(f\left( 0 \right)=0\). Hàm số \(y=f'\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau:
.PNG)
Hàm số \(g\left( x \right)=\left| f\left( {{x}^{2}} \right)-{{x}^{2}} \right|\) có bao nhiêu điểm cực trị?
-
Với a là số thực dương tùy ý , \(\sqrt[4]{{{a}^{7}}}\) bằng
-
Tích phân \(\int_{1}^{2}{x\left( x+2 \right)}~\text{d}x\) bằng
