Xét các số thực \(x,\,\,y\) với \(x\ge 0\) thỏa mãn điều kiện:\({{2018}^{x\,+\,3y}}+{{2018}^{xy\,+\,1}}+x+1={{2018}^{-\,xy\,-\,1}}+\frac{1}{{{2018}^{x\,+\,3y}}}-y\left( x+3 \right)\)Gọi \(m\) là giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(T=x+2y.\) Mệnh đề nào sau đây đúng ?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiGiả thiết \(\Leftrightarrow \,\,{{2018}^{x\,+\,3y}}-\frac{1}{{{2018}^{x\,+\,3y}}}+x+3y={{2018}^{-\,xy\,-\,1}}-\frac{1}{{{2018}^{-\,xy\,-\,1}}}-xy-1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( * \right).\)
Xét hàm số \(f\left( t \right)={{2018}^{t}}-{{2018}^{-\,t}}+t\) trên R, có \({f}'\left( t \right)={{2018}^{t}}.\ln 2018+{{2018}^{-\,t}}.\ln 2018+1>0\)
Suy ra \(f\left( t \right)\) là hàm số đồng biến trên R mà \(\left( * \right)\Leftrightarrow f\left( x+3y \right)=f\left( -xy-1 \right)\Leftrightarrow x+3y=-\,xy-1.\)
\(\Leftrightarrow x+1=-\,\left( x+3 \right)y\Leftrightarrow y=-\frac{x+1}{x+3}.\) Khi đó \(T=x+2y=x-\frac{2x+2}{x+3}=\frac{{{x}^{2}}+x-2}{x+3}.\)
Xét hàm số \(g\left( x \right)=\frac{{{x}^{2}}+x-2}{x+3}\) trên khoảng \(\left[ 0;+\,\infty \right),\) có \({g}'\left( x \right)=\frac{{{x}^{2}}+6x+5}{{{\left( x+3 \right)}^{2}}}>0;\,\,\forall x\ge 0.\)
Do đó, \(g\left( x \right)\) là hàm số đồng biến trên \(\left[ 0;+\,\infty \right)\,\,\xrightarrow{{}}\,\,\underset{\left( 0;+\,\infty \right)}{\mathop{\min }}\,g\left( x \right)=g\left( 0 \right)=-\,\frac{2}{3}\in \left( -\,1;0 \right).\)
Chọn A.
Câu hỏi liên quan
-
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz,\) cho hình hộp \(ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'\) có \(A\left( 1;0;1 \right),\,\,B\left( 2;1;2 \right)\)\(D\left( 1;-\,1;1 \right)\) và \({C}'\left( 4;5;-\,5 \right).\) Tính tọa độ đỉnh \({A}'\) của hình hộp.
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có đạo hàm liên trục trên \(\mathbb{R}\) và đồ thị hàm số \(y={f}'\left( x \right)\) như hình vẽ:Số điểm cực trị của hàm số \(y=f\left( x \right)-5x\) là
.JPG)
-
Cho khối lăng trụ \(ABC.{A}'{B}'{C}'\) có đáy \(ABC\) là tam giác đều cạnh bằng \(a,\) cạnh bên \(A{A}'=a,\) góc giữa đường thẳng \(A{A}'\) và mặt phẳng đáy bằng \({{30}^{0}}.\) Tính thể tích khối lăng trụ đã cho theo \(a.\)
-
Biết hệ số của \({{x}^{2}}\) trong khai triển của \({{\left( 1-3x \right)}^{n}}\) là \(90.\) Tìm \(n\,\,?\)
-
Sinh nhật bạn của An vào ngày 01 tháng năm. An muốn mua một món quà sinh nhật cho bạn nên quyết định bỏ ống heo 100 đồng vào ngày 01 tháng 01 năm 2016, sau đó cứ liên tục ngày sau hơn ngày trước 100 đồng. Hỏi đến ngày sinh nhật của bạn, An đã tích lũy được bao nhiêu tiền ? (thời gian bỏ ống heo tính từ ngày 01 tháng 01 năm 2016 đến ngày 30 tháng 04 năm 2016)
-
Bình có bốn đôi giày khác nhau gồm bốn màu: đen, trắng, xanh và đỏ. Một buổi sáng đi học, vì vội vàng, Bình đã lấy ngẫu nhiên hai chiếc giày từ bốn đôi giày đó. Tính xác suất để Bình lấy được hai chiếc giày cùng màu.
-
Tìm tập xác định \(D\) của hàm số \(y={{\left( {{x}^{2}}-3x+2 \right)}^{-\,3}}.\)
-
Cho \(F\left( x \right)=\left( a{{x}^{2}}+bx-c \right){{e}^{2x}}\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)=\left( 2018{{x}^{2}}-3x+1 \right){{e}^{2x}}\) trên khoảng \(\left( -\,\infty ;+\,\infty \right).\) Tính tổng \(T=a+2b+4c.\)
-
Tìm nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)=\frac{2}{4x-3}.\)
-
Cho \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)=\dfrac{1}{2{{e}^{x}}+3}\) thỏa mãn \(F\left( 0 \right)=10.\) Tìm \(F\left( x \right).\)
-
Tìm giá trị thực của tham số \(m\) để đường thẳng \(d:y=\left( 3m+1 \right)x+3+m\) vuông góc với đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số \(y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-1.\)
-
Cho phương trình lượng giác \(2m\sin x\cos x+4{{\cos }^{2}}x=m+5,\) với \(m\) là một phần tử của tập hợp \(E=\left\{ -\,3;-\,2;-\,1;0;1;2 \right\}.\) Có bao nhiêu giá trị của \(m\) để phương trình đã cho có nghiệm ?
-
Tìm tập nghiệm \(S\) của bất phương trình \({{\log }_{\frac{1}{2}}}\left( {{\log }_{4}}\frac{2x+1}{x-1} \right)>1\)
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right),\) có bảng biến thiên như sau: Mệnh đề nào dưới đây đúng ?
.JPG)
-
Cho hình trụ \(\left( T \right)\) có \(\left( C \right)\) và \(\left( {{C}'} \right)\) là hai đường tròn đáy nội tiếp hai mặt đối diện của một hình lập phương. Biết rằng, trong tam giác cong tạo bởi đường tròn \(\left( C \right)\) và hình vuông ngoại tiếp của \(\left( C \right)\) có một hình chữ nhật kích thước \(a\,\,\times \,\,2a\) (như hình vẽ dưới đây). Tính thể tích \(V\) của khối trụ \(\left( T \right)\) theo \(a.\)
.JPG)
-
Phương trình \({{4}^{{{x}^{2}}\,-\,2x}}+{{2}^{{{x}^{2}}\,-\,2x\,+\,3}}-3=0.\) Khi đặt \(t={{2}^{{{x}^{2}}\,-\,2x}},\) ta được phương trình nào dưới đây
-
Để đóng học phí học đại học, bạn An vay ngân hàng số tiền 9.000.000 đồng, lãi suất 3%/năm trong thời hạn 4 năm với thể thức cứ sau mỗi năm, số tiền lãi sẽ được nhập vào nợ gốc để tính lãi cho năm tiếp theo. Sau bốn năm, đến thời hạn trả nợ, hai bên thỏa thuận hình thức trả nợ như sau: lãi suất cho vay được điều chỉnh thành 0,25%/tháng, đồng thời hàng tháng bạn An phải trả nợ cho ngân hàng số tiền T không đổi và cứ sau mỗi tháng, số tiền T sẽ được trừ vào tiền nợ gốc để tính lãi cho tháng tiếp theo. Hỏi muốn trả hết nợ ngân hàng trong 5 năm thì hàng tháng bạn An phải trả cho ngân hàng số tiền T là bao nhiêu ? (T được làm tròn đến hàng đơn vị).
-
Cho đồ thị hàm số như hình vẽ. Mệnh đề nào dưới đây là đúng ?
.JPG)
-
Cho hàm số \(y=\left( m-1 \right){{x}^{3}}+\left( m-1 \right){{x}^{2}}-2x+5\) với \(m\) là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của \(m\) để hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( -\,\infty ;+\,\infty \right)\,\,?\)
-
Tìm tập nghiệm \(S\) của phương trình \({{\log }_{3}}\left( {{x}^{2}}-2x+3 \right)-{{\log }_{3}}\left( x+1 \right)=1.\)
