Xét các số thực dương x,y,z thay đổi và các số thực a,b,c lớn hơn 1 thỏa mãn \({{a}^{x}}={{b}^{y}}={{c}^{z}}=\sqrt{abc}\). Giá trị nhỏ nhất của \(P=x+y+2{{z}^{2}}\) thuộc tập nào sau đây ?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTừ giả thiết ta có \({{a}^{x}}=\sqrt{abc}\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}{{\log }_{a}}\left( abc \right)\Rightarrow \frac{1}{x}=2{{\log }_{abc}}a\).
Tương tự \(\frac{1}{y}=2{{\log }_{abc}}b;\,\,\,\frac{1}{z}=2{{\log }_{abc}}c\).
Suy ra \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\,\frac{1}{z}=2\left( lo{{g}_{abc}}a+lo{{g}_{abc}}b+{{\log }_{abc}}c \right)=2.\)
Mà \(\left( x+y \right)\left( \frac{1}{x}+\frac{1}{y} \right)\ge 4\Leftrightarrow \frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge \frac{4}{x+y}\Rightarrow \frac{4}{x+y}\le 2-\frac{1}{z}\Rightarrow x+y\ge \frac{4z}{2z-1}\).
Suy ra \(P=x+y+2{{z}^{2}}\ge \frac{4z}{2z-1}+2{{z}^{2}}=f\left( z \right)\).
\(\begin{align} & f\left( z \right)=\frac{4z}{2z-1}+2{{z}^{2}},\,\,\left( z>0 \right);\,\,f'\left( z \right)=\frac{-4}{{{\left( 2z-1 \right)}^{2}}}+4z \\ & f'\left( z \right)=0\Leftrightarrow z{{\left( 2z-1 \right)}^{2}}-1=0\Leftrightarrow z=1 \\ \end{align}\)
Do đó \(f\left( z \right)\ge f\left( 1 \right)=6\).
Câu hỏi liên quan
-
Hỏi có tất cả bao giá trị nguyên của tham số \(m\in \left[ -10;10 \right]\) để hàm số \(y=2{{x}^{3}}+{{x}^{2}}-mx+2m-1\) nghịch biến trên đoạn \(\left[ -1;1 \right]\)?
-
Tìm tập nghiệm của bất phương trình \({{\log }_{2}}\left( 2x-3 \right)<{{\log }_{2}}\left( x-1 \right)\).
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)=a{{x}^{3}}+\text{ }b{{x}^{2}}+cx+\text{ }d\text{ }\left( a\ne 0 \right)\) có đồ thị như hình bên. Số nghiệm thực của phương trình \(f\left( x \right)-2=0\) là
.jpg.png)
-
Thể tích của khối lập phương cạnh 3cm bằng
-
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm \(A\left( 1;0;-2 \right),\text{ }B\left( 2;1;-1 \right).\) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác OAB.
-
Cho cấp số nhân (un) với u1 = 3 và u2 = 6. Công bội q của cấp số nhân đã cho bằng
-
Nếu \(\int\limits_{1}^{2}{f\left( x \right)dx}=2,\text{ }\int\limits_{2}^{6}{f\left( x \right)dx}=3\) thì \(\int\limits_{1}^{6}{f\left( x \right)dx}\) bằng
-
Thể tích khối cầu có bán kính R = 2a bằng
-
Cho một hình trụ tròn xoay và hình vuông ABCD cạnh a có hai đỉnh liên tiếp A,B nằm trên đường tròn đáy thứ nhất của hình trụ, hai đỉnh còn lại nằm trên đường tròn đáy thứ hai của hình trụ như hình vẽ. Mặt phẳng (ABCD) tạo với đáy hình trụ góc \({{45}^{0}}\). Tính diện tích xung quanh Sxq của hình trụ.
.PNG)
-
Gọi \({{z}_{1}},{{z}_{2}}\) là hai nghiệm phức của phương trình \({{z}^{2}}+2z+5=0\), trong đó \({{z}_{1}}\) có phần ảo dương. Tính \(\left| {{z}_{1}}+2{{z}_{2}} \right|\).
-
Cho hai số dương x,y thỏa \({{\log }_{3}}\left( 3{{x}^{2}}+6x+9 \right)-{{y}^{2}}+2={{3}^{{{y}^{2}}}}-{{x}^{2}}-2x\) với \(x\in \left( 0;600 \right)\). Hỏi có bao nhiêu số nguyên y thỏa mãn phương trình trên ?
-
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình chính tắc của đường thẳng d đi qua điểm \(M\left( 1;-2;5 \right)\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( \alpha \right):4x-3y+2z+5=0\) là
-
Giả sử M,m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f\left( x \right)=\left| {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+4x+a \right|\) trên đoạn \(\left[ 0;2 \right]\). Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của \(a\in \left[ -10;10 \right]\) để \(M\le 2m\).
-
Với a là số thực dương tùy ý, \(lo{{g}_{3}}{{a}^{2}}\) bằng
-
Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:
.png)
Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây ?
-
Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:
.png)
Giá trị cực đại của hàm số đã cho bằng
-
Số nghiệm nguyên của bất phương trình \({2^{{x^2} + 3x}} \le 16\) là số nào sau đây ?
-
Tìm họ nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = x + \cos x.\)
-
Cho hình tròn tâm S, bán kính R = 2 . Cắt bỏ đi \(\frac{1}{4}\) hình tròn rồi dán lại để tạo ra mặt xung quanh của hình nón như hình vẽ. Tính diện tích xung quanh của hình nón đó.
.PNG)
-
Đường cong ở hình bên là đồ thị của một trong bốn hàm số dưới đây.
.jpg.png)
Hàm số đó là hàm số nào?
