Xét các số phức z=a+bi, \(\left( a,b\in \mathbb{R} \right)\) thỏa mãn \(4\left( z-\overline{z} \right)-15i=i{{\left( z+\overline{z}-1 \right)}^{2}}\). Tính F=-a+4b khi \(\left| z-\frac{1}{2}+3i \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có
\(4\left( z-\overline{z} \right)-15i=i{{\left( z+\overline{z}-1 \right)}^{2}} \Leftrightarrow 4\left( a+bi-a+bi \right)-15i=i{{\left( a+bi+a-bi-1 \right)}^{2}} \Leftrightarrow 8b-15={{\left( 2a-1 \right)}^{2}}\) suy ra \(b\ge \frac{15}{8}\).
\(\left| z-\frac{1}{2}+3i \right|=\frac{1}{2}\sqrt{{{\left( 2a-1 \right)}^{2}}+{{\left( 2b+6 \right)}^{2}}}=\frac{1}{2}\sqrt{8b-15+4{{b}^{2}}+24b+36}=\frac{1}{2}\sqrt{4{{b}^{2}}+32b+21}\)
Xét hàm số \(f\left( x \right)=4{{x}^{2}}+32x+21\) với \(x\ge \frac{15}{8}\)
\({f}'\left( x \right)=8x+32>0,\forall x\ge \frac{15}{8}\) suy ra \(f\left( x \right)\) là hàm số đồng biến trên \(\left[ \frac{15}{8};+\infty \right)\) nên \(f\left( x \right)\ge f\left( \frac{15}{8} \right)=\frac{4353}{16}\)
Do đó \(\left| z-\frac{1}{2}+3i \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất bằng \(\frac{1}{2}\sqrt{\frac{4353}{16}}\) khi \(b=\frac{15}{8};a=\frac{1}{2}\)
Khi đó F=-a+4b=7.
Đề thi thử THPT QG năm 2021 môn Toán
Trường THPT Lê Quý Đôn lần 2
Câu hỏi liên quan
-
Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với ABC. Tam giác ABC là vuông cân tại B. Độ dài các cạnh SA=AB=a. Khi đó góc giữa SA và mặt phẳng \(\left( SBC \right)\) bằng
.png)
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau
.png)
Mệnh đề nào dưới đây sai?
-
Nghiệm của phương trình \(\log ({{x}^{2}}+x+4)=1\) là
-
Tìm đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \({y=\frac{3-2x}{x-2}}\)
-
Tính đạo hàm của hàm số \(y={{2017}^{x}}\) ?
-
Cho hai điểm \(A\left( 4\,;\,1\,;\,0 \right), B\left( 2\,;\,-1\,;\,2 \right)\). Trong các vectơ sau, tìm một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(AB\).
-
Một mảnh vườn hình tròn tâm O bán kính 6m. Người ta cần trồng cây trên dải đất rộng 6m nhận O làm tâm đối xứng, biết kinh phí trồng cây là 70000 đồng\(/\,{{m}^{2}}\). Hỏi cần bao nhiêu tiền để trồng cây trên dải đất đó (số tiền được làm tròn đến hàng đơn vị).
.png)
-
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu \(\left( S \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z-3 \right)}^{2}}=16\). Gọi M là điểm thuộc mặt cầu \(\left( S \right)\) sao cho biểu thức \(A=2{{x}_{M}}-{{y}_{M}}+2{{\text{z}}_{M}}\) đạt giá trị lớn nhất, giá trị biểu thức \(B={{x}_{M}}+{{y}_{M}}+{{z}_{M}}\) bằng.
-
Nếu \(\int\limits_{1}^{2}{f\left( x \right)dx}=3,\,\,\int\limits_{2}^{5}{f\left( x \right)dx}=-1\,\,\) thì \(\,\int\limits_{1}^{5}{f\left( x \right)dx}\,\,\) bằng
-
Cho hai số phức \({{z}_{1}}=4-3i+{{\left( 1-i \right)}^{3}}\) và \({{z}_{2}}=7+i\). Phần thực của số phức \(w=2\overline{\overline{{{z}_{1}}}{{z}_{2}}}\) bằng
-
Trong không gian Oxyz, đường thẳng đi qua hai điểm \(M\left( -1;0;0 \right)\) và \(N\left( 0;1;2 \right)\) có phương trình
-
Tập nghiệm của bất phương trình \(\ln \left( 1-x \right)<0\)
-
Có bao nhiêu cách chọn hai học sinh từ một nhóm gồm 10 học sinh?
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ. Phương trình \(f\left( x \right)-1=0\) có mấy nghiệm?
.jpg.png)
-
Khối lăng trụ đứng \(ABC.{A}'{B}'{C}'\) có đáy là tam giác vuông tại A với AB=a, \(AC=2a\sqrt{3}\), cạnh bên \(A{A}'=2a\). Thể tích khối lăng trụ bằng bao nhiêu?
-
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng \(\left( P \right):x-{{m}^{2}}y+2z+m-\frac{3}{2}=0; \left( Q \right):2x-8y+4z+1=0\), với m là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho hai mặt phẳng trên song song với nhau.
-
Cho số phức liên hợp của số phức z là \(\overline{z}=1-2020i\) khi đó
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, hai mặt phẳng \(\left( SAB \right)\) và \(\left( SAD \right)\) cùng vuông góc với mặt phẳng \(\left( ABCD \right)\); góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng \(\left( ABCD \right)\) bằng \(60{}^\circ \). Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD.
-
Mệnh đề nào sau đây đúng
-
Số nghiệm phương trình \({{3}^{{{x}^{2}}-9x+8}}-1=0\) là:
