Xét các số phức z=a+bi, \(\left( a,b\in \mathbb{R} \right)\) thỏa mãn \(4\left( z-\overline{z} \right)-15i=i{{\left( z+\overline{z}-1 \right)}^{2}}\). Tính F=-a+4b khi \(\left| z-\frac{1}{2}+3i \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có
\(4\left( z-\overline{z} \right)-15i=i{{\left( z+\overline{z}-1 \right)}^{2}} \Leftrightarrow 4\left( a+bi-a+bi \right)-15i=i{{\left( a+bi+a-bi-1 \right)}^{2}} \Leftrightarrow 8b-15={{\left( 2a-1 \right)}^{2}}\) suy ra \(b\ge \frac{15}{8}\).
\(\left| z-\frac{1}{2}+3i \right|=\frac{1}{2}\sqrt{{{\left( 2a-1 \right)}^{2}}+{{\left( 2b+6 \right)}^{2}}}=\frac{1}{2}\sqrt{8b-15+4{{b}^{2}}+24b+36}=\frac{1}{2}\sqrt{4{{b}^{2}}+32b+21}\)
Xét hàm số \(f\left( x \right)=4{{x}^{2}}+32x+21\) với \(x\ge \frac{15}{8}\)
\({f}'\left( x \right)=8x+32>0,\forall x\ge \frac{15}{8}\) suy ra \(f\left( x \right)\) là hàm số đồng biến trên \(\left[ \frac{15}{8};+\infty \right)\) nên \(f\left( x \right)\ge f\left( \frac{15}{8} \right)=\frac{4353}{16}\)
Do đó \(\left| z-\frac{1}{2}+3i \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất bằng \(\frac{1}{2}\sqrt{\frac{4353}{16}}\) khi \(b=\frac{15}{8};a=\frac{1}{2}\)
Khi đó F=-a+4b=7.
Đề thi thử THPT QG năm 2021 môn Toán
Trường THPT Lê Quý Đôn lần 2
Câu hỏi liên quan
-
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu \(\left( S \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z-3 \right)}^{2}}=16\). Gọi M là điểm thuộc mặt cầu \(\left( S \right)\) sao cho biểu thức \(A=2{{x}_{M}}-{{y}_{M}}+2{{\text{z}}_{M}}\) đạt giá trị lớn nhất, giá trị biểu thức \(B={{x}_{M}}+{{y}_{M}}+{{z}_{M}}\) bằng.
-
Nghiệm của phương trình \(\log ({{x}^{2}}+x+4)=1\) là
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng \(\left( ABCD \right)\) và SA=a. Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng \(\left( SBC \right)\) bằng:
.png)
-
Mệnh đề nào sau đây sai?
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau
.png)
Mệnh đề nào dưới đây sai?
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có đồ thị \(y={f}'\left( x \right)\) cắt trục Ox tại ba điểm có hoành độ a<b<c như hình vẽ. mệnh đề nào dưới đây là đúng?
.jpg.png)
-
Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y=\frac{x+2}{x-1}\) trên đoạn \(\left[ 2;3 \right]\). Tính \({{M}^{2}}+{{m}^{2}}\).
-
Cho a là số thực dương và \(a\ne 1\). Giá trị của biểu thức \(M={{\left( {{a}^{1+\sqrt{2}}} \right)}^{1-\sqrt{2}}}\) bằng
-
Giả sử hàm số \(y=f\left( x \right)\) liên tục, nhận giá trị dương trên \(\left( 0;+\infty \right)\) và thỏa mãn \(f\left( 1 \right)=e,f\left( x \right)={f}'\left( x \right).\sqrt{3x+1},\) với mọi x>0. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
-
Có bao nhiêu số phức z=x+yi thỏa mãn hai điều kiện \(\left| z+1-i \right|+10=\left| z \right|\) và \(\frac{x}{y}=-\frac{1}{2}\).
-
Một mảnh vườn hình tròn tâm O bán kính 6m. Người ta cần trồng cây trên dải đất rộng 6m nhận O làm tâm đối xứng, biết kinh phí trồng cây là 70000 đồng\(/\,{{m}^{2}}\). Hỏi cần bao nhiêu tiền để trồng cây trên dải đất đó (số tiền được làm tròn đến hàng đơn vị).
.png)
-
Cho hình trụ có chiều cao bằng \(1,\) diện tích đáy bằng \(3.\) Tính thể tích khối trụ đó.
-
Cho b là số thực dương tùy ý, \({{\log }_{{{3}^{2}}}}b\) bằng
-
Thể tích của khối lập phương cạnh \(2a\) bằng
-
Khối lăng trụ đứng \(ABC.{A}'{B}'{C}'\) có đáy là tam giác vuông tại A với AB=a, \(AC=2a\sqrt{3}\), cạnh bên \(A{A}'=2a\). Thể tích khối lăng trụ bằng bao nhiêu?
-
Nếu \(\int\limits_{1}^{2}{f\left( x \right)dx}=3,\,\,\int\limits_{2}^{5}{f\left( x \right)dx}=-1\,\,\) thì \(\,\int\limits_{1}^{5}{f\left( x \right)dx}\,\,\) bằng
-
Trong không gian tọa độ Oxyz, tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm \(A\left( 2;1;-1 \right)\) lên trục tung.
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ. Phương trình \(f\left( x \right)-1=0\) có mấy nghiệm?
.jpg.png)
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\). Biết rằng hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm là \(f'\left( x \right)\) và hàm số \(y=f'\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ bên. Khi đó nhận xét nào sau đây là sai?
.jpg.png)
-
Tính đạo hàm của hàm số \(y={{2017}^{x}}\) ?
