Tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình \({{\left( \sqrt{10}+1 \right)}^{x}}-m{{\left( \sqrt{10}-1 \right)}^{x}}>{{3}^{x+1}}\) nghiệm đúng với mọi \(x\in \mathbb{R}\) là :
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai+) Xét bất phương trình \({{\left( \sqrt{10}+1 \right)}^{x}}-m{{\left( \sqrt{10}-1 \right)}^{x}}>{{3}^{x+1}} \left( 1 \right)\)
+) \(\left( 1 \right)\Leftrightarrow {{\left( \frac{\sqrt{10}+1}{3} \right)}^{x}}-m{{\left( \frac{\sqrt{10}-1}{3} \right)}^{x}}>3\)
+) Nhận xét : \(\frac{\sqrt{10}+1}{3}.\frac{\sqrt{10}-1}{3}=1\Rightarrow \left( \frac{\sqrt{10}-1}{3} \right)={{\left( \frac{\sqrt{10}+1}{3} \right)}^{-1}}\)
Do đó \(\left( 1 \right)\Leftrightarrow {{\left( \frac{\sqrt{10}+1}{3} \right)}^{x}}-m{{\left( \frac{\sqrt{10}+1}{3} \right)}^{-x}}>3\)
+) Đặt \(t={{\left( \frac{\sqrt{10}+1}{3} \right)}^{x}}, t>0\)
Khi đó \(\left( 1 \right)\) trở thành: \(t-\frac{m}{t}>3\Leftrightarrow {{t}^{2}}-3t>m\left( 2 \right)\)
+) \(\left( 1 \right)\) nghiệm đúng với mọi \(x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow \left( 2 \right)\) nghiệm đúng với mọi t>0.
+) Ta có bảng biến thiên
+) Từ bảng biến thiên ta có \(m<-\frac{9}{4}\)
Đề thi thử THPT QG năm 2021 môn Toán
Trường THPT Lê Quý Đôn lần 2