Trong mặt phẳng tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( \alpha \right):2x-y-2z-2=0\) và đường thẳng \(\left( d \right):\frac{x}{-1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-2}{1}\). Biết mặt phẳng \(\left( P \right)\) chứa \(\left( d \right)\) và tạo với \(\left( \alpha \right)\) một góc nhỏ nhất có phương trình dạng ax+by+cz+3=0. Giá trị của T=a.b.c bằng:
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai+ \(\left( \alpha\right)\) có một VTCP là \(\overrightarrow{u}=\left( -1;\,2;\,1 \right)\).
+ VTPT của \(\left( P \right)\) có dạng \(\overrightarrow{n}=\left( a;b;c \right)\) với \({{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}\ne 0\).
+ Vì (P) chứa \(\left( d \right)\) nên \(\overrightarrow{n}.\overrightarrow{u}=0\Leftrightarrow -a+2b+c=0\Leftrightarrow c=a-2b\).
+ Ta có: \(\cos \left( \left( P \right),\left( \alpha\right) \right)=\frac{\left| \overrightarrow{n}.\overrightarrow{{{n}_{\alpha }}} \right|}{\left| \overrightarrow{n} \right|.\left| \overrightarrow{{{n}_{\alpha }}} \right|}=\frac{\left| 2a-b-2c \right|}{3\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}=\frac{\left| b \right|}{\sqrt{2{{a}^{2}}-4ab+5{{b}^{2}}}}\).
TH1: Nếu b=0 thì \(\left( \left( P \right),\left( \alpha\right) \right)={{90}^{{}^\circ }}\).
TH2: Nếu \(b\ne 0\) thì \(\left( \left( P \right),\left( \alpha\right) \right)\) nhỏ nhất khi \(\cos \left( \left( P \right),\left( \alpha\right) \right)=\frac{1}{\sqrt{2{{\left( \frac{a}{b} \right)}^{2}}-4\frac{a}{b}+5}}\) lớn nhất.
Ta có: \(\cos \left( \left( P \right),\left( \alpha\right) \right)=\frac{1}{\sqrt{2{{\left( \frac{a}{b}-1 \right)}^{2}}+3}}\) lớn nhất khi \(\frac{a}{b}=1\Leftrightarrow a=b\)
So sánh hai trường hợp ta thấy \(\left( \left( P \right),\left( \alpha\right) \right)\) nhỏ nhất khi a=b nên \(\overrightarrow{n}=\left( a;a;-a \right)\).
Do đó,
\(a\left( x-0 \right)+a\left( y+1 \right)-a\left( z-2 \right)=0\Leftrightarrow ax+ay-az+3a=0\).
Vì mặt phẳng \(\left( P \right)\) có phương trình dạng ax+by+cz+3=0 nên \(a=1\Rightarrow \overrightarrow{n}=\left( 1;1;-1 \right)\)
Vậy T=-1.
Đề thi thử THPT QG năm 2021 môn Toán
Trường THPT Trưng Vương lần 2
Câu hỏi liên quan
-
Nếu \(\int\limits_{0}^{7}{f\left( x \right)\text{d}x}=18\) và \(\int\limits_{1}^{7}{f\left( x \right)\text{d}x}=9\) thì \(\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)\text{d}x}\) bằng
-
Cho chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, \(SA\bot \left( ABCD \right)\). Góc giữa đường SC và mặt phẳng \(\left( SAD \right)\) là góc?
-
Cho số phức z thỏa mãn |z-2i| \(\le\) |z-4i| và \(\left| z-3-3i \right|=1\). Giá trị lớn nhất của biểu thức \(P=\left| z-2 \right|\) là:
-
Công thức tính thể tích V của khối nón có bán kính 2r và chiều cao h là:
-
Một tổ học sinh có 7 nam và 3 nữ. Chọn ngẫu nhiên 2 người. Tính xác suất sao cho 2 người được chọn đều là nữ.
-
Có bao nhiêu cách xếp 3 học sinh ngồi vào một dãy ghế hàng ngang gồm 4 chỗ ngồi?
-
Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, CD. Biết góc giữa đường thẳng MN với mặt phẳng \(\left( SBD \right)\) bằng \({{30}^{{}^\circ }}\)(như hình vẽ).
.png)
Thể tích của khối chóp đều S.ABCD là:
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có đạo hàm \({f}'\left( x \right)\) xác định trên \(\mathbb{R}\). Đồ thị hàm số \(y={f}'\left( x \right)\) như hình vẽ dưới đây:
.PNG)
Hỏi hàm số \(y=f\left( {{x}^{2}} \right)\) có bao nhiêu điểm cực đại và bao nhiêu điểm cực tiểu?
-
Với a, b là các số thực dương tùy ý, ta có \(\ln \left( {{a}^{2}}{{b}^{3}} \right)\) bằng
-
Một hình cầu có bán kính r=3cm khi đó diện tích mặt cầu là:
-
Tập nghiệm của bất phương trình \({{\log }_{3}}\left( {{x}^{2}}+2 \right)\le 3\) là:
-
Trong không gian Oxyz, mặt phẳng \(\left( P \right):x+2y-3z+3=0\) có một vectơ pháp tuyến là
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có đồ thị \(y={f}'\left( x \right)\) là đường cong hình bên.
.PNG)
Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(g\left( x \right)=f\left( {{x}^{2}}-2\text{x} \right)\) trên \(\left[ -\frac{3}{2}\,;\,\frac{7}{2} \right]\) là
-
Có bao nhiêu số nguyên dương y sao cho ứng với mỗi giá trị của y có không quá 5 số nguyên x thoả mãn bất phương trình \(\left( {{5}^{x}}-1 \right)\left( {{2.5}^{x}}-y \right)\le 0\).
-
Trong không gian Oxyz, đường thẳng \(d:\frac{x-1}{3}=\frac{y+2}{-4}=\frac{z-3}{-5}\) đi qua điểm
-
Đồ thị hàm số \(y={{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+9x-2\) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng
-
Cho hàm số \(f(x)\) xác định trên \(\mathbb{R}\) và có bàng xét dấu của đạo hàm \(f^{\prime}(x)\) như sau
.png)
Hàm số \(f(x)\) có bao nhiêu điểm cực trị?
-
Trong không gian với hệ toa độ Oxyz, lập phương trình đường thẳng đi qua điểm \(A\left( 0;\ -1;\ 3 \right)\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right): x+3y-1=0\).
-
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt cầu \(\left( {{S}_{1}} \right):\,{{\left( x+4 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=16,\left( {{S}_{2}} \right):\,{{\left( x+4 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=36\) và điểm \(A\left( 4;0;0 \right)\). Đường thẳng \(\Delta \) di động nhưng luôn tiếp xúc với \(({{S}_{1}})\), đồng thời cắt \(\left( {{S}_{2}} \right)\) tại hai điểm \(B,\,\,C\). Tam giác ABC có thể có diện tích lớn nhất là bao nhiêu?
-
Cho hàm số \(f(x)\) có bàng biến thiên như sau
.PNG)
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng dưới đây?
