Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, CD. Biết góc giữa đường thẳng MN với mặt phẳng \(\left( SBD \right)\) bằng \({{30}^{{}^\circ }}\)(như hình vẽ).
.png)
Thể tích của khối chóp đều S.ABCD là:
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.png)
Chọn hệ trục Oxyz như hình vẽ. Gọi SO=x>0. Không mất tính tổng quát giả sử a=1
Ta có: \(S\left( 0;0;x \right),\,A\left( \frac{\sqrt{2}}{2};0;0 \right),\,B\left( 0;\frac{\sqrt{2}}{2};0 \right),C\left( -\frac{\sqrt{2}}{2};0;0 \right),M\left( \frac{\sqrt{2}}{4};0;\frac{x}{2} \right),N\left( -\frac{\sqrt{2}}{4};\frac{\sqrt{2}}{4};0 \right)\).
Suy ra: \(\overrightarrow{MN}=\left( -\frac{\sqrt{2}}{2};\frac{\sqrt{2}}{4};-\frac{x}{2} \right)=-\frac{1}{4}\left( 2\sqrt{2};-\sqrt{2};2x \right)\Rightarrow \text{VTCP}\,\overrightarrow{u}=\left( 2\sqrt{2};-\sqrt{2};2x \right)\).
+ Mặt khác, \(\left( SBD \right)\) có một VTPT là \(\overrightarrow{i}=\left( 1;0;0 \right)\).
Ta có: \(\sin \left( MN,\left( SBD \right) \right)=\frac{1}{2}\Leftrightarrow \frac{\left| \overrightarrow{u}.\overrightarrow{n} \right|}{\left| \overrightarrow{u} \right|.\left| \overrightarrow{n} \right|}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{10+4{{x}^{2}}}}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow x=\frac{\sqrt{22}}{2}\).
Vậy \({{V}_{S.ABCD}}=\frac{1}{3}.\frac{\sqrt{22}}{2}.{{a}^{3}}=\frac{\sqrt{22}{{a}^{3}}}{6}\).
Đề thi thử THPT QG năm 2021 môn Toán
Trường THPT Trưng Vương lần 2
Câu hỏi liên quan
-
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt cầu \(\left( {{S}_{1}} \right):\,{{\left( x+4 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=16,\left( {{S}_{2}} \right):\,{{\left( x+4 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=36\) và điểm \(A\left( 4;0;0 \right)\). Đường thẳng \(\Delta \) di động nhưng luôn tiếp xúc với \(({{S}_{1}})\), đồng thời cắt \(\left( {{S}_{2}} \right)\) tại hai điểm \(B,\,\,C\). Tam giác ABC có thể có diện tích lớn nhất là bao nhiêu?
-
Trong các hàm số sau, hàm số nào luôn nghịch biến trên \(\mathbb{R}\)?
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)=-\frac{1}{2}{{x}^{4}}+a{{x}^{2}}+b$$\left( a,b\in \mathbb{R} \right)\) có đồ thị và \(y=g\left( x \right)=m{{\text{x}}^{2}}+n\text{x}+p \left( m,n,p\in \mathbb{R} \right)\) có đồ thị \(\left( P \right)\) như hình vẽ. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi \(\left( C \right)\) và \(\left( P \right)\) có giá trị nằm trong khoảng nào sau đây?
.PNG)
-
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm \(I\left( 1;2;4 \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):2x+2y+z-1=0\). Mặt cầu tâm I và tiếp xúc với mặt phẳng \(\left( P \right)\) có phương trình là:
-
Công thức tính thể tích V của khối nón có bán kính 2r và chiều cao h là:
-
Cho hai số phức \({{z}_{1}},{{z}_{2}}\). Có bao nhiêu số phức \(z={{z}_{1}}-{{z}_{2}}\) thỏa mãn \(\left| {{z}_{1}} \right|=\left| {{z}_{2}} \right|=2,\,{{z}_{1}}+{{z}_{2}}=2-2i\)?
-
Có bao nhiêu cách xếp 3 học sinh ngồi vào một dãy ghế hàng ngang gồm 4 chỗ ngồi?
-
Trong không gian Oxyz, mặt phẳng \(\left( P \right):x+2y-3z+3=0\) có một vectơ pháp tuyến là
-
Đạo hàm của hàm số \(y = {2021^x}\) là
-
Cho tứ diện ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a \(\left( a>0 \right)\). Khi đó khoảng cách từ đỉnh A đến \(\text{mp}\left( BCD \right)\) bằng
-
Có bao nhiêu số nguyên dương y sao cho ứng với mỗi giá trị của y có không quá 5 số nguyên x thoả mãn bất phương trình \(\left( {{5}^{x}}-1 \right)\left( {{2.5}^{x}}-y \right)\le 0\).
-
Phương trình \({2^{2x + 5}} = \frac{1}{8}\) có nghiệm là
-
Đồ thị hàm số \(y={{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+9x-2\) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng
-
Trên mặt phẳng tọa độ, điểm biểu diễn số phức 8-3i có tọa độ là
-
Tính \(I = \int\limits_{ - 1}^1 {{x^{2020}}{\rm{d}}x} \)
-
Cho số phức z thỏa mãn |z-2i| \(\le\) |z-4i| và \(\left| z-3-3i \right|=1\). Giá trị lớn nhất của biểu thức \(P=\left| z-2 \right|\) là:
-
Cho \(\int\limits_{1}^{2}{f\left( {{x}^{2}}+1 \right)x\text{d}x=2}\). Khi đó \(I=\int\limits_{2}^{5}{f\left( x \right)}\text{d}x\) bằng:
-
Một tổ học sinh có 7 nam và 3 nữ. Chọn ngẫu nhiên 2 người. Tính xác suất sao cho 2 người được chọn đều là nữ.
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)={{\left| x \right|}^{2021}}\). Giá trị của \(I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{f\left( 2\cos x-1 \right)\sin x\text{d}x}\) bằng:
-
Tích của giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số \(f\left( x \right)=x+\frac{4}{x}\) trên đoạn \(\left[ 1;\text{ }3 \right]\) bằng.
