Trong hệ tọa độ \(\text{O}xyz\), cho điểm \(A\left( 2;1;3 \right)\), mặt phẳng \((\alpha ):2x+2y-z-3=0\) và mặt cầu \((S):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-6x-4y-10z+2=0\). Gọi \(\Delta \) là đường thẳng đi qua A, nằm trong mặt phẳng \((\alpha )\) và cắt (S) tại hai điểm M,N. Độ dài đoạn MN nhỏ nhất là:
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.png)
+ Mặt cầu (S) có tâm \(I\left( 3;2;5 \right)\) và bán kính R=6.
Ta có: \(A\in (\alpha ),IA=\sqrt{6}<R\) nên \((S)\cap (\alpha )=(C)\) và A nằm trong mặt cầu (S).
Suy ra: Mọi đường thẳng \(\Delta \) đi qua A, nằm trong mặt phẳng \((\alpha )\) đều cắt (S) tại hai điểm M,N. (M,N cũng chính là giao điểm của \(\Delta \) và (C)).
+ Vì \(d(I,\Delta )\le IA\) nên ta có: \(MN=2\sqrt{{{R}^{2}}-{{d}^{2}}(I,\Delta )}\ge 2\sqrt{{{R}^{2}}-I{{A}^{2}}}=2\sqrt{30}\).
Dấu ''='' xảy ra khi A là điểm chính giữa dây cung MN.
Vậy độ dài đoạn MN nhỏ nhất là MN bằng \(2\sqrt{30}\).
Đề thi thử THPT QG năm 2021 môn Toán
Trường THPT Võ Thị Sáu lần 2
Câu hỏi liên quan
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm trên \(\mathbb{R},f\left( -1 \right)=-2\) và \(f\left( 3 \right)=2\). Tính \(I=\int\limits_{-1}^{3}{{f}'\left( x \right)dx}\).
-
Phần ảo của số phức z=2-3i là
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, hai mặt \(\left( SAB \right);\left( SAD \right)\) cùng vuông góc với mặt phẳng \(\left( ABCD \right)\); góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng \(\left( ABCD \right)\) bằng \({{60}^{0}}\). Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD.
.png)
-
Đồ thị hình vẽ bên là đồ thị của hàm số nào?
.PNG)
-
Có bao nhiêu số nguyên dương y để tập nghiệm của bất phương trình \(\left( {{\log }_{2}}x-\sqrt{2} \right)\left( {{\log }_{2}}x-y \right)<0\) chứa tối đa 1000 số nguyên.
-
Rút gọn biểu thức \(P={{x}^{\frac{1}{5}}}.\sqrt[3]{x}\) với x>0.
-
Cho tập hợp M có 10 phần tử. Số tập con gồm 2 phần tử của M là
-
Họ nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = x + \sin 2x\) là.
-
Tìm số phức liên hợp của số phức \(z = \left( {2 - i} \right)\left( {1 + 2i} \right)\)
-
Nghiệm của bất phương trình \({\log _2}\left( {3{\rm{x}} - 1} \right) > 3\) là
-
Cho hai số phức \({{z}_{1}},{{z}_{2}}\) thỏa mãn \(\left| {{z}_{1}} \right|=2,\left| {{z}_{2}} \right|=\sqrt{3}\). Gọi M, N lần lượt là điểm biểu diễn cho \({{z}_{1}}\) và \(i{{z}_{2}}\). Biết \(\widehat{MON}={{30}^{0}}\). Tính \(S=\left| z_{1}^{2}+4z_{2}^{2} \right|\)
-
Đạo hàm của hàm số \(y = \log x\) là
-
Hàm số nào dưới đây đồng biến trên tập \(\mathbb{R}\)?
-
Số phức \(z=a+bi\,\,\left( a,b\in \mathbb{R} \right)\) có điểm biểu diễn như hình vẽ bên dưới. Tìm a và b
.jpg.png)
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right)=\left( {{e}^{x}}+1 \right)\left( {{e}^{x}}-12 \right)\left( x+1 \right){{\left( x-1 \right)}^{2}}\) trên \(\mathbb{R}\). Hỏi hàm số \(y=f\left( x \right)\) có bao nhiêu điểm cực trị?
-
Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu \(\left( S \right):{{\left( x-5 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{\left( z+2 \right)}^{2}}=9\). Bán kính R của (S) là
-
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' (hình vẽ bên dưới). Góc giữa hai đường thẳng AC và A'D bằng
.png)
-
Diện tích mặt cầu (S) tâm I đường kính bằng a là
-
Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A, D, AB=AD=a, CD=2a. Cạnh bên SD vuông góc với đáy \(\left( ABCD \right)\) và SD=a. Tính khoảng cách từ A đến \(\left( SBC \right)\).
-
Cho \(I=\int\limits_{0}^{2}{f(x)d}x=3.\) Khi đó \(J=\int\limits_{0}^{2}{\left[ 4f\left( x \right)-3 \right]dx}\) bằng:
