Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm số \(y=\frac{1}{3}{{x}^{3}}-\left( m-1 \right){{x}^{2}}-4mx\) đồng biến trên đoạn \(\left[ 1;4 \right]\).
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có: \(y'={{x}^{2}}-2\left( m-1 \right)x-4m\)
Để hàm số đồng biến trên \(\left[ 1;4 \right]\) thì \(y'\ge 0\text{ }\forall x\in \left[ 1;4 \right]\) và bằng 0 tại hữu hạn điểm.
\(\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2\left( m-1 \right)x-4m\ge 0\text{ }\forall x\in \left[ 1;4 \right]\Leftrightarrow {{x}^{2}}+2x\ge 2m\left( x+2 \right)\Leftrightarrow 2m\le \frac{{{x}^{2}}+2x}{x+2}\text{ }\forall x\in \left[ 1;4 \right]\)
Đặt \(f\left( x \right)=\frac{{{x}^{2}}+2x}{x+2}\Rightarrow 2m\le f\left( x \right)\text{ }\forall x\in \left[ 1;4 \right]\Leftrightarrow 2m\le \underset{\left[ 1;4 \right]}{\mathop{\min }}\,f\left( x \right)\).
Xét hàm số \(f\left( x \right)=\frac{{{x}^{2}}+2x}{x+2}\) trên \(\left[ 1;4 \right]\) ta có:
\(f'\left( x \right)=\frac{\left( 2x+2 \right)\left( x+2 \right)-{{x}^{2}}-2x}{{{\left( x+2 \right)}^{2}}}=\frac{{{x}^{2}}+4x+4}{{{\left( x+2 \right)}^{2}}}=1>0\text{ }\forall x\in \left[ 1;4 \right]\Rightarrow \) Hàm số đồng biến trên \(\left[ 1;4 \right] \Rightarrow \underset{\left[ 1;4 \right]}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=f\left( 1 \right)=1\).
Vậy \(2m\le 1\Leftrightarrow m\le \frac{1}{2}\)
Câu hỏi liên quan
-
Cho \(f\left( x \right)\) là hàm số chẵn, liên tục trên đoạn \(\left[ -1;1 \right]\) và \(\int\limits_{-1}^{1}{f\left( x \right)dx}=4\). Kết quả \(I=\int\limits_{-1}^{1}{\frac{f\left( x \right)}{1+{{e}^{x}}}dx}\) bằng:
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau:
.PNG)
Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là:
-
Tìm tập nghiệm của bất phương trình \({\log _{\frac{2}{5}}}\left( {x - 4} \right) + 1 > 0\)
-
Đầu mỗi tháng anh A gửi vào ngân hàng 3 triệu đồng với lãi suất kép là 0,6% mỗi tháng. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu tháng (khi ngân hàng đã tính lãi) thì anh A có được số tiền cả lãi và gốc nhiều hơn 100 triệu biết lãi suất không đổi trong quá trình gửi.
-
Trong các hàm số sau, hàm số nào nghịch biến trên tập số thực R?
-
Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên gồm 7 chữ số khác nhau có dạng \(\overline {{a_1}{a_2}{a_3}{a_4}{a_5}{a_6}{a_7}} \). Tính xác suất để số được chọn luôn có mặt chữ số 2 và thỏa mãn \({a_1} < {a_2} < {a_3} < {a_4} > {a_5} > {a_6} > {a_7}\).
-
Cho \(\int\limits_{1}^{2}{f\left( x \right)dx}=2\). Tính \(\int\limits_{1}^{4}{\frac{f\left( \sqrt{x} \right)}{\sqrt{x}}dx}\) bằng:
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) xác định, liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có bảng biến thiên như sau:
.PNG)
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình \(f\left( x \right)-1=m\) có đúng 2 nghiệm.
-
Có bao nhiêu số tự nhiên có bốn chữ số khác nhau được tạo thành từ các chữ số của tập \(X = \left\{ {1;3;5;8;9} \right\}\).
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right),y=g\left( x \right)\) liên tục trên \(\left[ a;b \right]\) và số thực k tùy ý. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
-
Cho hàm số y = f(x) bảng biến thiên như sau:
.PNG)
Phát biểu nào sau đây đúng?
-
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm \(A\left( 0;-2;-1 \right),B\left( -2;-4;3 \right), C\left( 1;3;-1 \right)\). Tìm điểm \(M\in \left( Oxy \right)\) sao cho \(\left| \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+3\overrightarrow{MC} \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất.
-
Tập xác định của hàm số \({\left( {{x^2} - 3x + 2} \right)^\pi }\) là:
-
Gọi m và M lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số \(y=x-\sqrt{4-{{x}^{2}}}\). Khi đó M-m bằng:
-
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu có phương trình \({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x+4y-6z+9=0\). Tọa độ tâm I và bán kính R của mặt cầu là:
-
Cho hai tích phân \(\int\limits_{-2}^{5}{f\left( x \right)dx}=8\) và \(\int\limits_{5}^{-2}{g\left( x \right)dx}=3\). Tính \(I=\int\limits_{-2}^{5}{\left[ f\left( x \right)-4g\left( x \right)-1 \right]dx}\)?
-
Tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = {{2x + 1} \over {x - 1}}\) tại điểm có hoành độ bằng \(2\) có hệ số góc \(k = ?\)
-
Tính \(\lim \frac{{\sqrt {4{n^2} + 1} - \sqrt {n + 2} }}{{2n - 3}}\) bằng:
-
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các vectơ \(\overrightarrow{a}=\left( 2;m-1;3 \right), \overrightarrow{b}=\left( 1;3;-2n \right)\). Tìm m, n để các vectơ \(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\) cùng hướng.
-
Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:
