Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\in \left[ -10;10 \right]\) để bất phương trình sau nghiệm đúng \(\forall x\in \mathbb{R}:{{\left( 6+2\sqrt{7} \right)}^{x}}+\left( 2-m \right){{\left( 3-\sqrt{7} \right)}^{x}}-\left( m+1 \right){{2}^{x}}\ge 0\)?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiChia cả 2 vế của bất phương trình cho \({{2}^{x}}>0\) ta được: \({{\left( 3+\sqrt{7} \right)}^{x}}+\left( 2-m \right){{\left( \frac{3-\sqrt{7}}{2} \right)}^{x}}-\left( m+1 \right)\ge 0\)
Nhận xét: \({{\left( 3+\sqrt{7} \right)}^{x}}.{{\left( \frac{3-\sqrt{7}}{2} \right)}^{x}}=1\), do đó khi ta đặt \(t={{\left( 3+\sqrt{7} \right)}^{x}}\left( t>0 \right)\Rightarrow {{\left( \frac{3-\sqrt{7}}{2} \right)}^{x}}=\frac{1}{t}\).
Phương trình trở thành: \(t+\left( 2-m \right)\frac{1}{t}-\left( m+1 \right)\ge 0\Leftrightarrow {{t}^{2}}-\left( m+1 \right)t+2-m\ge 0\)
\(\Leftrightarrow {{t}^{2}}-t+2\ge m\left( t+1 \right)\Leftrightarrow m\le \frac{{{t}^{2}}-t+2}{t+1}=f\left( t \right)\text{ }\forall t>0\Leftrightarrow m\le \underset{\left( 0;+\infty \right)}{\mathop{\min }}\,f\left( t \right)\).
Xét hàm số \(f\left( t \right)=\frac{{{t}^{2}}-t+2}{t+1}\left( t>0 \right)\) ta có: \(f'\left( t \right)=\frac{\left( 2t-1 \right)\left( t+1 \right)-{{t}^{2}}+t-2}{{{\left( t+1 \right)}^{2}}}=\frac{{{t}^{2}}+2t-3}{{{\left( t+1 \right)}^{2}}}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & t=1 \\ & t=-3 \\ \end{align} \right.\)
BBT
.PNG)
Từ BBT \(\Rightarrow m\le 1\).
Kết hợp điều kiện đề bài \(\Rightarrow \left\{ \begin{align} & m\in \mathbb{R} \\ & m\in \left[ -10;1 \right] \\ \end{align} \right.\Rightarrow \) có 12 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu hỏi liên quan
-
Tích phân \(\int\limits_0^2 {\frac{x}{{{x^2} + 3}}dx} \) bằng:
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có \(f'\left( x \right)\) liên tục trên \(\left[ 0;2 \right]\) và \(f\left( 2 \right)=16;\int\limits_{0}^{2}{f\left( x \right)dx}=4\). Tính \(I=\int\limits_{0}^{1}{xf'\left( 2x \right)dx}\).
-
Cho hàm số y = f(x) bảng biến thiên như sau:
.PNG)
Phát biểu nào sau đây đúng?
-
Cho cấp số nhân \(\left( {{u}_{n}} \right)\) có tổng n số hạng đầu tiên là \({{S}_{n}}={{6}^{n}}-1\). Tìm số hạng thứ năm của cấp số cộng đã cho
-
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 3 điểm \(A\left( 10;1 \right),B\left( 3;-2;0 \right),C\left( 1;2;-2 \right)\). Gọi \(\left( P \right)\) là mặt phẳng đi qua A sao cho tổng khoảng cách từ B và C đến \(\left( P \right)\) lớn nhất biết rằng \(\left( P \right)\) không cắt đoạn BC. Khi đó vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( P \right)\) là:
-
Cho các số thực dương a, b với \(a\ne 1\) và \({{\log }_{a}}b>0\). Khẳng định nào sau đây là đúng?
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) xác định, liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có bảng biến thiên như sau:
.PNG)
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình \(f\left( x \right)-1=m\) có đúng 2 nghiệm.
-
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho bốn điểm \(A\left( 1;0;2 \right),B\left( -2;1;3 \right),C\left( 3;2;4 \right), D\left( 6;9;-5 \right)\). Tọa độ trọng tâm của tứ diện ABCD là:
-
Trong khai triển nhị thức \({{\left( a+2 \right)}^{n+6}}\) có tất cả 17 số hạng. Khi đó giá trị n bằng:
-
Gọi l, h, r lần lượt là độ dài đường sinh, chiều cao và bán kính mặt đáy của hình nón. Diện tích xung quanh \({{S}_{xq}}\) của hình nón là:
-
Cho mặt phẳng (P) đi qua các điểm \(A\left( { - 2;0;0} \right),B\left( {0;3;0} \right),C\left( {0;0; - 3} \right)\). Mặt phẳng (P) vuông góc với mặt phẳng nào trong các mặt phẳng sau:
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right)={{x}^{2}}\left( x-1 \right){{\left( {{x}^{2}}-1 \right)}^{3}},\forall x\in \mathbb{R}\). Số điểm cực trị của hàm số đã cho là:
-
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm \(A\left( 0;-2;-1 \right),B\left( -2;-4;3 \right), C\left( 1;3;-1 \right)\). Tìm điểm \(M\in \left( Oxy \right)\) sao cho \(\left| \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+3\overrightarrow{MC} \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất.
-
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho \(\overrightarrow{a}=-\overrightarrow{i}+2\overrightarrow{j}-3\overrightarrow{k}\). Tọa độ của vectơ \(\overrightarrow{a}\) là:
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có \(f\left( 2 \right)=f\left( -2 \right)=0\) và có bảng xét dấu của đạo hàm như sau:
.PNG)
Hàm số \(y={{\left( f\left( 3-x \right) \right)}^{2}}\) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
-
Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau:
.PNG)
Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là:
-
Tìm họ nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {5^{2x}}\)?
-
Hai đồ thị của hàm số \(y=-{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+2x-1\) và \(y=3{{x}^{2}}-2x-1\) có tất cả bao nhiêu điểm chung?
-
Tìm tập nghiệm của bất phương trình \({\log _{\frac{2}{5}}}\left( {x - 4} \right) + 1 > 0\)
