Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm số \(y = \dfrac{1}{3}{x^3} - \left( {m - 1} \right){x^2} - 4mx\) đồng biến trên đoạn \(\left[ {1;4} \right]\).
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có : \(y' = {x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x - 4m\)
Để hàm số đồng biến trên \(\left[ {1;4} \right]\) thì \(y' \ge 0\,\,\forall x \in \left[ {1;4} \right]\) và bằng 0 tại hữu hạn điểm.
\( \Leftrightarrow {x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x - 4m \ge 0\,\,\forall x \in \left[ {1;4} \right] \Leftrightarrow {x^2} + 2x \ge 2m\left( {x + 2} \right) \Leftrightarrow 2m \le \dfrac{{{x^2} + 2x}}{{x + 2}}\,\,\forall x \in \left[ {1;4} \right]\)
Đặt \(f\left( x \right) = \dfrac{{{x^2} + 2x}}{{x + 2}} \Rightarrow 2m \le f\left( x \right)\,\,\forall x \in \left[ {1;4} \right] \Leftrightarrow 2m \le \mathop {\min }\limits_{\left[ {1;4} \right]} f\left( x \right)\).
Xét hàm số \(f\left( x \right) = \dfrac{{{x^2} + 2x}}{{x + 2}}\) trên \(\left[ {1;4} \right]\) ta có :
\(f'\left( x \right) = \dfrac{{\left( {2x + 2} \right)\left( {x + 2} \right) - {x^2} - 2x}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = \dfrac{{{x^2} + 4x + 4}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = 1 > 0\,\,\forall x \in \left[ {1;4} \right] \Rightarrow \) Hàm số đồng biến trên \(\left[ {1;4} \right] \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{\left[ {1;4} \right]} f\left( x \right) = f\left( 1 \right) = 1\).
Vậy \(2m \le 1 \Leftrightarrow m \le \dfrac{1}{2}\).
Chọn B.
Đề thi thử THPT QG năm 2022 môn Toán
Trường THPT Trần Quý Cáp
Câu hỏi liên quan
-
Cho khối hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\) có \(AB = a,\,\,AD = b,\,AA' = c\). Thể tích khối hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\) bằng bao nhiêu?
-
Cho các số thực dương \(a,\,\,b\) với \(a \ne 1\) và \({\log _a}b > 0\). Khẳng định nào sau đây là đúng ?
-
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các vectơ \(\overrightarrow a = \left( {2;m - 1;3} \right);\,\,\overrightarrow b = \left( {1;3; - 2n} \right)\). Tìm \(m,n\) để các vectơ \(\overrightarrow a ,\,\,\overrightarrow b \) cùng hướng.
-
Trong các hàm số sau, hàm số nào nghịch biến trên tập số thực \(\mathbb{R}\)?
-
Cho khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) có thể tích bằng \(V\). Tính thể tích khối tứ diện \(ABCB'C'\).
-
Tính khoảng cách giữa các tiếp tuyến của đồ thị hàm \(f\left( x \right) = {x^3} - 3x + 1\,\,\left( C \right)\) tại cực trị của \(\left( C \right)\).
-
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có \(f'\left( x \right)\) liên tục trên \(\left[ {0;2} \right]\) và \(f\left( 2 \right) = 16\); \(\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} = 4\). Tính \(I = \int\limits_0^1 {xf'\left( {2x} \right)dx} \)
-
Gọi \(l,\,\,h,\,\,r\) lần lượt là độ dài đường sinh, chiều cao và bán kính mặt đáy của hình nón. Diệnt ích xung quanh \({S_{xq}}\) của hình nón là:
-
Mệnh đề nào sau đây Sai?
-
Cho \({\log _8}\left| x \right| + {\log _4}{y^2} = 5\) và \({\log _8}\left| y \right| + {\log _4}{x^2} = 7.\) Tìm giá trị của biểu thức \(P = \left| x \right| - \left| y \right|.\)
-
Một khối gỗ hình lập phương có thể tích \({V_1}\). Một người thợ mộc muốn gọt giũa khối gỗ đó thành một khối trụ có thể tích là \({V_2}\). Tính tỉ số lớn nhất \(k = \dfrac{{{V_2}}}{{{V_1}}}\)?
-
Khối trụ tròn xoay có đường kính là \(2a\), chiều cao là \(h = 2a\) có thể tích là:
-
Trong tất cả các hình thang cân có cạnh bên bằng \(2\) và cạnh đáy nhỏ bằng \(4\) , tính chu vi \(P\) của hình thang có diện tích lớn nhất.
-
Trải mặt xung quanh của một hình nón lên một mặt phẳng ta được hình quạt (xem hình bên dưới) là phần của hình tròn có bán kính bằng \(3cm.\) Bán kính đáy \(r\) của hình nón ban đầu gần nhất với số nào dưới đây?
.JPG)
-
Tính \(\lim \dfrac{{\sqrt {4{n^2} + 1} - \sqrt {n + 2} }}{{2n - 3}}\) bằng:
-
Cho hàm số \(y = f\left( x \right),\,\,y = g\left( x \right)\) liên tục trên \(\left[ {a;b} \right]\) và số thực \(k\) tùy ý. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
-
Cho hai tích phân \(\int\limits_{ - 2}^5 {f\left( x \right)dx} = 8\) và \(\int\limits_5^{ - 2} {g\left( x \right)dx} = 3\). Tính \(I = \int\limits_{ - 2}^5 {\left[ {f\left( x \right) - 4g\left( x \right) - 1} \right]dx} \) ?
-
Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu có phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y - 6z + 9 = 0\). Tọa độ tâm \(I\) và bán kính \(R\) của mặt cầu là:
-
Cho hàm số \(f\left( x \right),\,\,f\left( { - x} \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và thỏa mãn \(2f\left( x \right) + 3f\left( { - x} \right) = \dfrac{1}{{4 + {x^2}}}\). Tính \(I = \int\limits_{ - 2}^2 {f\left( x \right)dx} \).
-
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) bảng biến thiên như sau:
.JPG)
Phát biểu nào sau đây đúng?
