Trong tất cả các hình thang cân có cạnh bên bằng \(2\) và cạnh đáy nhỏ bằng \(4\) , tính chu vi \(P\) của hình thang có diện tích lớn nhất.
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.JPG)
Gọi H là chân đường cao kẻ từ A đến CD ta có: \({S_{ABCD}} = \frac{{\left( {AB + CD} \right).AH}}{2}\)
Đặt \(AH = x\;\;\left( {0 < x < 2} \right).\)
Khi đó áp dụng định lý Pi-ta-go ta có: \(DH = \sqrt {A{D^2} - A{H^2}} = \sqrt {4 - {x^2}} .\)
Ta có: \(DH = CK = \sqrt {4 - {x^2}} \Rightarrow CD = 2\sqrt {4 - {x^2}} + 4.\)
\( \Rightarrow {S_{ABCD}} = \frac{{\left( {AB + CD} \right).AH}}{2} = \frac{{\left( {4 + 2\sqrt {4 - {x^2}} + 4} \right).x}}{2} = \frac{{\left( {8 + 2\sqrt {4 - {x^2}} } \right)x}}{2}.\)
Xét hàm số \(f\left( x \right) = \left( {8 + 2\sqrt {4 - {x^2}} } \right)x = 8x + 2x\sqrt {4 - {x^2}} \;\;\left( {0 < x < 2} \right)\)
Ta có: \(f'\left( x \right) = 8 + 2\sqrt {4 - {x^2}} - \frac{{4{x^2}}}{{2\sqrt {4 - {x^2}} }} = 8 + \frac{{2\left( {4 - {x^2}} \right) - 2{x^2}}}{{\sqrt {4 - {x^2}} }} = 8 + \frac{{4\left( {2 - {x^2}} \right)}}{{\sqrt {4 - {x^2}} }}.\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 8 + \frac{{4\left( {2 - {x^2}} \right)}}{{\sqrt {4 - {x^2}} }} = 0 \Leftrightarrow 8\sqrt {4 - {x^2}} + 4\left( {2 - {x^2}} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 2\sqrt {4 - {x^2}} = {x^2} - 2 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 2 \ge 0\\4\left( {4 - {x^2}} \right) = {x^4} - 4{x^2} + 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} \ge 2\\{x^4} = 12\end{array} \right. \Leftrightarrow {x^2} = 2\sqrt 3 \,\,\left( {tm} \right)\\ \Rightarrow {S_{\,Max}} \Leftrightarrow {x^2} = 2\sqrt 3 \Rightarrow CD = 2\sqrt {4 - 2\sqrt 3 } + 4 = 2\left( {\sqrt 3 - 1} \right) + 4 = 2\sqrt 3 + 2\end{array}\)
Khi đó chu vi của hình thang là:
\(P = AB + 2AD + CD = 4 + 2.2 + 2\sqrt 3 + 2 = 10 + 2\sqrt 3 .\)
Chọn C.
Đề thi thử THPT QG năm 2022 môn Toán
Trường THPT Trần Quý Cáp
Câu hỏi liên quan
-
Gọi \(l,\,\,h,\,\,r\) lần lượt là độ dài đường sinh, chiều cao và bán kính mặt đáy của hình nón. Diệnt ích xung quanh \({S_{xq}}\) của hình nón là:
-
Cho \({\log _8}\left| x \right| + {\log _4}{y^2} = 5\) và \({\log _8}\left| y \right| + {\log _4}{x^2} = 7.\) Tìm giá trị của biểu thức \(P = \left| x \right| - \left| y \right|.\)
-
Cho hình hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\) có \(AB = x,\,AD = 1.\) Biết rằng góc giữa đường thẳng \(A'C\) và mặt phẳng \(\left( {ABB'A'} \right)\) bằng \({30^0}.\) Tìm giá trị lớn nhất \({V_{\max }}\) của thể tích khối hộp \(ABCD.A'B'C'D'\)
-
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm \(A\left( {0; - 2; - 1} \right);\,\,B\left( { - 2; - 4;3} \right);\,\,C\left( {1;3; - 1} \right)\). Tìm điểm \(M \in \left( {Oxy} \right)\) sao cho \(\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + 3\overrightarrow {MC} } \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất.
-
Tính khoảng cách giữa các tiếp tuyến của đồ thị hàm \(f\left( x \right) = {x^3} - 3x + 1\,\,\left( C \right)\) tại cực trị của \(\left( C \right)\).
-
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các vectơ \(\overrightarrow a = \left( {2;m - 1;3} \right);\,\,\overrightarrow b = \left( {1;3; - 2n} \right)\). Tìm \(m,n\) để các vectơ \(\overrightarrow a ,\,\,\overrightarrow b \) cùng hướng.
-
Có bao nhiêu số tự nhiên có bốn chữ số khác nhau được tạo thành từ các chữ số của tập \(X = \left\{ {1;3;5;8;9} \right\}\).
-
Rút gọn biểu thức \(P = \frac{{{{\left( {{a^{\sqrt 3 - 1}}} \right)}^{\sqrt 3 + 1}}}}{{{a^{4 - \sqrt 5 }}.{a^{\sqrt 5 - 2}}}}\) (với \(a > 0\) và \(a \ne 1\) )
-
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biế thiên như sau:
.JPG)
Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
-
Tìm mệnh đề sai trong các mênh đề sau:
-
Cho lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có diện tích tam giác \(ABC\) bằng \(2\sqrt 3 \). Gọi \(M,\,\,N,\,\,P\) lần lượt thuộc các cạnh \(AA',\,\,BB',\,\,CC'\), diện tích tam giác \(MNP\) bằng 4. Tính góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) và \(\left( {MNP} \right)\).
-
Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) có tổng \(n\) số hạng đầu tiên là \({S_n} = {6^n} - 1\). Tìm số hạng thứ năm của cấp số cộng đã cho
-
Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), cho \(\overrightarrow a = - \overrightarrow i + 2\overrightarrow j - 3\overrightarrow k \). Tọa độ của vectơ \(\overrightarrow a \) là:
-
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định, liên tục trên \(\mathbb{R}\) vàc cos bảng biến thiên như sau:
.JPG)
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình \(f\left( x \right) - 1 = m\) có đúng 2 nghiệm.
-
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị như hình vẽ. Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để phương trình \(f\left( {\cos x} \right) = m\) có 2 nghiệm phân biệt thuộc \(\left( {0;\dfrac{{3\pi }}{2}} \right]\) là:
.JPG)
-
Đặt \(a = {\log _2}5,\,\,b = {\log _3}5\). Hãy biểu diễn \({\log _6}5\) theo \(a\) và \(b\).
-
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau:
.JPG)
Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là:
-
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\) cho ba điểm \(A\left( {1;0;0} \right);\,\,B\left( {0;2;0} \right);\,\,C\left( {0;0;3} \right)\). Thể tích tứ diện \(OABC\) bằng:
-
Cho \(f\left( x \right)\) là hàm số chẵn, liên tục trên đoạn \(\left[ { - 1;1} \right]\) và \(\int\limits_{ - 1}^1 {f\left( x \right)dx} = 4\). Kết quả \(I = \int\limits_{ - 1}^1 {\dfrac{{f\left( x \right)}}{{1 + {e^x}}}dx} \) bằng:
-
Cho khối hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\) có \(AB = a,\,\,AD = b,\,AA' = c\). Thể tích khối hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\) bằng bao nhiêu?
