Tìm tập xác định \(D\) của hàm số \(y={{\left( {{x}^{2}}-3x+2 \right)}^{-\,3}}.\) 

Tính giá trị của biểu thức \(P={{x}^{2}}+{{y}^{2}}-xy+1,\) biết \({{4}^{{{x}^{2}}\,+\,\frac{1}{{{x}^{2}}}\,-\,1}}={{\log }_{2}}\left( 14-\left( y-2 \right)\sqrt{y+1} \right),\) với \(x\ne 0,\) \(-\,1\le y\le \frac{13}{2}.\) 

Phép tịnh tiến biến gốc tọa độ \(O\) thành điểm \(A\left( 1;2 \right)\) sẽ biến điểm \(A\) thành điểm \({A}'\) có tọa độ là: 

Cho hàm số \(y=\frac{1}{3}{{x}^{3}}-\frac{1}{2}m{{x}^{2}}-4x-10,\) với \(m\) là tham số, gọi \({{x}_{1}},\,\,{{x}_{2}}\) là các điểm cực trị của hàm số đã cho. Giá trị lớn nhất của biểu thức \(P=\left( x_{1}^{2}-1 \right)\left( x_{2}^{2}-1 \right)\) bằng 

Phương trình \({{4}^{{{x}^{2}}\,-\,2x}}+{{2}^{{{x}^{2}}\,-\,2x\,+\,3}}-3=0.\) Khi đặt \(t={{2}^{{{x}^{2}}\,-\,2x}},\) ta được phương trình nào dưới đây 

Tìm giá trị thực của tham số \(m\) để phương trình \(\log _{5}^{2}x-m{{\log }_{5}}x+m+1=0\) có hai nghiệm thực \({{x}_{1}},\,\,{{x}_{2}}\) thỏa mãn \({{x}_{1}}{{x}_{2}}=625.\)  

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz,\) cho hai vectơ \(\vec{u},\,\,\vec{v}\) tạo với nhau một góc \({{120}^{0}}\) và \(\left| {\vec{u}} \right|=2;\)\(\left| {\vec{v}} \right|=5.\) Tính giá trị biểu thức \(\left| \vec{u}+\vec{v} \right|.\)  

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật, \(AB=a\sqrt{3},\,\,AD=a.\) Tam giác \(SAB\) đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính theo \(a\) diện tích \(S\) của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.ABCD.\) 

Khi quay một tam giác đều cạnh bằng \(a\) (bao gồm cả điểm trong tam giác) quanh một cạnh của nó ta được một khối tròn xoay. Tính thể tích \(V\) của khối tròn xoay đó theo \(a.\)  

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz,\) cho điểm \(A\left( 1;-\,2;3 \right).\) Hình chiếu vuông góc của điểm \(A\) trên mặt phẳng \(\left( Oyz \right)\) là điểm \(M.\) Tọa độ của điểm \(M\) là 

Cho phương trình lượng giác \(2m\sin x\cos x+4{{\cos }^{2}}x=m+5,\) với \(m\) là một phần tử của tập hợp \(E=\left\{ -\,3;-\,2;-\,1;0;1;2 \right\}.\) Có bao nhiêu giá trị của \(m\) để phương trình đã cho có nghiệm ? 

Cho hình lăng trụ đứng \(ABC.{A}'{B}'{C}'\) có đáy \(ABC\) là tam giác cân, với \(AB=AC=a\) và góc \(\widehat{BAC}={{120}^{0}},\) cạnh bên \(A{A}'=a.\) Gọi \(I\) là trung điểm của \(C{C}'.\) Cosin của góc tạo bởi hai mặt phẳng \(\left( ABC \right)\) và \(\left( A{B}'I \right)\) bằng  

Hàm số nào dưới đây đồng biến trên khoảng \(\left( -\,\infty ;+\,\infty  \right)\,\,?\)

Cho hình trụ \(\left( T \right)\) có \(\left( C \right)\) và \(\left( {{C}'} \right)\) là hai đường tròn đáy nội tiếp hai mặt đối diện của một hình lập phương. Biết rằng, trong tam giác cong tạo bởi đường tròn \(\left( C \right)\) và hình vuông ngoại tiếp của \(\left( C \right)\) có một hình chữ nhật kích thước \(a\,\,\times \,\,2a\) (như hình vẽ dưới đây). Tính thể tích \(V\) của khối trụ \(\left( T \right)\) theo \(a.\)

Cho hàm số \(y=\left( m-1 \right){{x}^{3}}+\left( m-1 \right){{x}^{2}}-2x+5\) với \(m\) là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của \(m\) để hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( -\,\infty ;+\,\infty  \right)\,\,?\)  

Tìm tập nghiệm \(S\) của bất phương trình \({{\log }_{\frac{1}{2}}}\left( {{\log }_{4}}\frac{2x+1}{x-1} \right)>1\)   

Cho hàm số \(y=\frac{2x}{x+2},\) có đồ thị \(\left( C \right)\) và điểm \(M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)\in \left( C \right),\) với \({{x}_{0}}\ne 0.\) Biết khoảng cách từ điểm \(I\left( -\,2;2 \right)\) đến tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại \(M\) là lớn nhất, mệnh đề nào sau đây đúng? 

Tìm giá trị thực của tham số \(m\) để đường thẳng \(d:y=\left( 3m+1 \right)x+3+m\) vuông góc với đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số \(y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-1.\)  

Cho \(a\) là số thực dương khác \(4.\) Tính \(I={{\log }_{\frac{a}{4}}}\left( \frac{{{a}^{3}}}{64} \right).\) 

Cho hàm số \(y=f\left( x \right),\) có bảng biến thiên như sau: Mệnh đề nào dưới đây đúng ? 

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz,\) cho hình hộp \(ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'\) có \(A\left( 1;0;1 \right),\,\,B\left( 2;1;2 \right)\)\(D\left( 1;-\,1;1 \right)\) và \({C}'\left( 4;5;-\,5 \right).\) Tính tọa độ đỉnh \({A}'\) của hình hộp.