Tìm \(m\) để hàm số \(y = \frac{{m{x^2} + 6x - 2}}{{x + 2}}\) nghịch biến trên \(\left[ {1; + \infty } \right).\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai+ TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 2} \right\}\).
+ Ta có: \(y' = \frac{{m{x^2} + 4mx + 14}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\).
Hàm số nghịch biến trên \([1; + \infty )\)\( \Leftrightarrow y' \le 0{\rm{ }}\forall x \in \left[ {1; + \infty } \right)\), đẳng thức chỉ xảy ra tại một số điểm hữu hạn.
\( \Leftrightarrow m{x^2} + 4mx + 14 \le 0{\rm{ }}\forall x \in \left[ {1; + \infty } \right)\)\( \Leftrightarrow m\left( {{x^2} + 4x} \right) \le - 14{\rm{ }}\forall x \in \left[ {1; + \infty } \right) \Leftrightarrow g\left( x \right) = \frac{{ - 14}}{{\left( {{x^2} + 4x} \right)}} \ge m,\forall x \in \left[ {1; + \infty } \right) \Leftrightarrow \mathop {\min g\left( x \right)}\limits_{\left[ {1; + \infty } \right)} \ge m\).
Xét hàm số \(g\left( x \right) = \frac{{ - 14}}{{\left( {{x^2} + 4x} \right)}}\) trên \([1; + \infty )\) có : \(g'\left( x \right) = \frac{{14\left( {2x + 4} \right)}}{{{{\left( {{x^2} + 4x} \right)}^2}}} > 0,\forall x \in \left[ {1; + \infty } \right)\).
\( \Rightarrow \) hàm số luôn đồng biến \( \Rightarrow \)\(\mathop {\min g\left( x \right)}\limits_{\left[ {1; + \infty } \right)} = g\left( 1 \right) = - \frac{{14}}{5} \ge m \Leftrightarrow m \le - \frac{{14}}{5}\).
Câu hỏi liên quan
-
Cho hàm số \(y = (x + 3)({x^2} - 1)\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Mệnh đề nào dưới đây đúng?
-
Cho hàm số \(y = {x^2} + 5x + 4\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Tìm tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại các giao điểm của \(\left( C \right)\) với trục \(Ox\).
-
Khối tứ diện đều, khối bát diện đều và khối hai mươi mặt đều có số đỉnh là Đ, số cạnh là C, số mặt là M thỏa mãn:
-
Cho khối hộp ABCD.A’B’C’D’. Gọi M là trung điểm của cạnh AB. Mặt phẳng (MB’D’) chia khối hộp thành hai phần. Tính tỉ số thể tích hai phần đó.
-
Các góc của một tứ giác lập thành cấp số cộng. Nếu góc nhỏ nhất là 750 , thì góc lớn nhất là:
-
Cho hình chóp \(S.ABCD\) đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật tâm \(O\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(OC\). Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) qua \(M\) và \(\left( \alpha \right)\) song song với \(SA\) và \(BD\). Thiết diện của hình chóp \(S.ABCD\) và \(mp\left( \alpha \right)\) là hình gì?
-
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}m\frac{{{x^2} - 4}}{{{x^2} - 3x + 2}} + {n^2},\,\,\,\,khi\,\,x > 2\\nx - {m^2} - 5,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,x \le 2\end{array} \right.\) Tìm \(m,\,\,n\) để hàm số có giới hạn tại \(x = 2.\)
-
Đạo hàm của hàm số \(y = \left( {{x^3} - 5} \right)\sqrt x \) bằng biểu thức nào sau đây?
-
Dãy số nào là cấp số nhân, trong các dãy số được cho sau đây?
-
Cho hàm số \(y = f(x)\) có bảng biến thiên sau:
.JPG)
-
Tính giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {{x^2}\sin \frac{{{x^2} + 2}}{{{x^2}}}} \right)\)ta có kết quả là bao nhiêu?
-
Số vị trí điểm biểu diễn các nghiệm của phương trình \(\frac{{\sin 2x + 2\cos x - \sin x - 1}}{{\tan x + \sqrt 3 }} = 0\) trên đường tròn lượng giác là bao nhiêu?
-
Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ \(Oxy\). Cho đường tròn \(\left( C \right)\) có phương trình: \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 5} \right)^2} = 4\) và điểm \(I\left( {2; - 3} \right).\) Gọi \(\left( {C'} \right)\) là ảnh của \(\left( C \right)\) qua phép vị tự \(V\) tâm \(I\) tỉ số \(k = - 2.\) Tìm phương trình của \(\left( {C'} \right).\)
-
Chọn giá trị \(f(0)\) để các hàm số \(f(x) = \frac{{\sqrt {2x + 1} - 1}}{{x(x + 1)}}\)liên tục tại điểm \(x = 0\).
-
Cho lăng trụ tam giác \(ABC.A'B'C'\). Gọi \(G,G'\) lần lượt là trọng tâm của tam giác \(ABC\) và \(A'B'C'\), \(O\) là trung điểm của \(GG'\). Thiết diện tạo bởi mặt phẳng \(\left( {ABO} \right)\) với lăng trụ là một hình thang. Tính tỉ số \(k\) giữa đáy lớn và đáy bé của thiết diện.
-
Cho hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng nhau, đường cao của một mặt bên là \(a\sqrt 3 .\) Thể tích V của khối chóp đó là bao nhiêu?
-
Trong các mệnh đề sau đây mệnh đề nào sai?
-
Tổng tất cả các nghiệm của phương trình \(\frac{{\left( {2\cos x - 1} \right)\left( {\sin 2x - \cos x} \right)}}{{\sin x - 1}} = 0\) trên \(\left[ {0;\,\frac{\pi }{2}} \right]\) là \(T\) bằng bao nhiêu?
-
Tìm tất cả giá trị thực m để đồ thị của hàm số \(y = {x^3} - (3m + 1){x^2} + (5m + 4)x - 8\) cắt trục hoành tại \(3\)điểm phân biệt có hoành độ lập thành một cấp số nhân.
-
Tính tổng các hệ số trong khai triển sau \({\left( {1 - 2x} \right)^{2018}}.\)
