Tìm giá trị lớn nhất của \(P=\left| {{z}^{2}}-z \right|+\left| {{z}^{2}}+z+1 \right|\) với z là số phức thỏa mãn \(\left| z \right|=1\).
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐặt \(z=a+bi\left( a,b\in \mathbb{R} \right)\). Do \(\left| z \right|=1\) nên \({{a}^{2}}+{{b}^{2}}=1\).
Sử dụng công thức: \(\left| u.v \right|=\left| u \right|\left| v \right|\) ta có: \(\left| {{z}^{2}}-z \right|=\left| z \right|\left| z-1 \right|=\left| z-1 \right|=\sqrt{{{\left( a-1 \right)}^{2}}+{{b}^{2}}}=\sqrt{2-2a}\).
\(\left| {{z}^{2}}+z+1 \right|=\left| {{\left( a+bi \right)}^{2}}+a+bi+1 \right|=\left| {{a}^{2}}-{{b}^{2}}+a+1+\left( 2ab+b \right)i \right|=\sqrt{{{\left( {{a}^{2}}-{{b}^{2}}+a+1 \right)}^{2}}+{{\left( 2ab+b \right)}^{2}}}\)
\(=\sqrt{{{a}^{2}}{{(2a+1)}^{2}}+{{b}^{2}}{{\left( 2a+1 \right)}^{2}}}=\left| 2a+1 \right|\) (vì \({{a}^{2}}+{{b}^{2}}=1\)).
Vậy \(P=\left| 2a+1 \right|+\sqrt{2-2a}\).
TH1: \(a<-\frac{1}{2}\).
Suy ra \(P=-2a-1+\sqrt{2-2a}=\left( 2-2a \right)+\sqrt{2-2a}-3\le 4+2-3=3\) (vì \(0\le \sqrt{2-2a}\le 2\)).
TH2: \(a\ge -\frac{1}{2}\)
Suy ra \(P=2a+1+\sqrt{2-2a}=-\left( 2-2a \right)+\sqrt{2-2a}+3=-{{\left( \sqrt{2-2a}-\frac{1}{2} \right)}^{2}}+3+\frac{1}{4}\le \frac{13}{4}\)
Xảy ra khi \(a=\frac{7}{16}\)
Đề thi thử THPT QG năm 2021 môn Toán
Trường THPT Nguyễn Thị Diệu lần 2
Câu hỏi liên quan
-
Tính đạo hàm của hàm số \(f\left( x \right)=\ln x\).
-
Gieo ngẫu nhiên một con súc sắc. Xác suất để mặt 6 chấm xuất hiện:
-
Biết số phức \(z\) có biểu diễn là điểm \(M\) trong hình vẽ bên dưới. Chọn khẳng định đúng.
.jpg.png)
-
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm \(A\left( 1;2;3 \right), B\left( -3;0;1 \right), C\left( 5;-8;8 \right)\). Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.
-
Tính thể tích khối hộp chữ nhật có ba kích thước lần lượt là \(a\), \(2a\) và \(3a\).
-
Thể tích của khối nón có chiều cao bằng \(\frac{a\sqrt{3}}{2}\) và bán kính đường tròn đáy bằng \(\frac{a}{2}\) là
-
Trong không gian Oxyz, điểm nào dưới đây thuộc đường thẳng \(\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z-2}{3}\)?
-
Cho một cấp số cộng \(\left( {{u}_{n}} \right)\) có \({{u}_{1}}=\frac{1}{3}, {{u}_{8}}=26.\) Công sai của cấp số cộng đã cho là
-
Cho \(\int\limits_{3}^{4}{\frac{2x+1}{3{{x}^{2}}-x-2}\text{d}x}=a\ln \frac{3}{2}+b\ln c\), với a,b,c là các số hữu tỷ. Giá trị của 5a+15b-11c bằng
-
Cho a,b>0, \(a\ne 1\) thỏa \({{\log }_{a}}b=3\). Tính \(P={{\log }_{{{a}^{2}}}}{{b}^{3}}\)
-
Cho \(\int\limits_{a}^{c}{f\left( x \right)\text{d}x}=17\) và \(\int\limits_{b}^{c}{f\left( x \right)\text{d}x}=-11\) với a<b<c. Tính \(I=\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)\text{d}x}\).
-
Trong không gian, điểm nào dưới đây thuộc mặt phẳng \(\left( \alpha \right):\,\,-x+y+2z-3=0\)?
-
Cho hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\), hàm số \(y=f'(x-2)\) có đồ thị như hình vẽ dưới đây.
.jpg.png)
Số điểm cực trị của hàm số \(y=f(x)\) là
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) xác định,liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có bảng biến thiên như sau
.png)
Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại
-
Trong không gian tọa độ Oxyz, cho điểm \(M\left( 1;\,-3;\,\,4 \right)\), đường thẳng \(d:\frac{x+2}{3}=\frac{y-5}{-5}=\frac{z-2}{-1}\) và mặt phẳng \(\left( P \right):2x+z-2=0\). Viết phương trình đường thẳng \(\Delta \) qua M vuông góc với d và song song với \(\left( P \right)\).
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 2a có SA vuông góc với mặt phẳng \(\left( ABCD \right)\) và SA=2a. Khi đó góc giữa SB và \(\left( SAC \right)\) bằng:
.png)
-
Một khối trụ có chiều cao và bán kính đường tròn đáy cùng bằng \(R\) thì có thể tích là
-
Trong không gian Oxyz, cho điểm \(M\left( -1;2;2 \right)\). Đường thẳng đi qua M và song song với trục Oy có phương trình là
-
Số phức liên hợp của số phức \(z=-\frac{1}{2}-\frac{5}{3}i\) là
-
Nếu \(\int\limits_{1}^{4}{f\left( x \right)\text{dx}}=-2\) và \(\int\limits_{1}^{4}{g\left( x \right)\text{dx}}=-6\) thì \(\int\limits_{1}^{4}{\left[ f\left( x \right)-g\left( x \right) \right]\text{dx}}\) bằng
