Phương trình \({\sin ^2}x + \sqrt 3 \sin x\cos x = 1\)có bao nhiêu nghiệm thuộc \(\left[ {0;2\pi } \right]?\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có : \({\sin ^2}x + \sqrt 3 \sin x\cos x = 1 \Leftrightarrow \frac{{1 - \cos 2x}}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\sin 2x = 1\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{{\sqrt 3 }}{2}\sin 2x - \frac{1}{2}\cos 2x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{1}{2}\cos 2x - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\sin 2x = \frac{1}{2}\\ \Leftrightarrow \cos \frac{\pi }{3}.\cos 2x - \sin \frac{\pi }{3}\sin 2x = \frac{1}{2}\\ \Leftrightarrow \cos \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right) = \cos \frac{\pi }{3} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x + \frac{\pi }{3} = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\2x + \frac{\pi }{3} = - \frac{\pi }{3} + m2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k\pi \\x = - \frac{\pi }{3} + m\pi \end{array} \right.\left( {k,\,m \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)
Vì \(x \in \left[ {0;2\pi } \right]\) nên ta có
+ \(0 \le k\pi \le 2\pi \Leftrightarrow 0 \le k \le 2 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}k = 0 \Rightarrow x = 0\\k = 1 \Rightarrow x = \pi \\k = 2 \Rightarrow x = 2\pi \end{array} \right.\)
+ \(0 \le - \frac{\pi }{3} + m2\pi \le 2\pi \Leftrightarrow \frac{1}{6} \le m \le \frac{7}{6} \Leftrightarrow m = 1 \Rightarrow x = \frac{{2\pi }}{3}.\)
Vậy có bốn nghiệm thuộc \(\left[ {0;2\pi } \right]\)
Chọn D.
Đề thi thử THPT QG năm 2022 môn Toán
Trường THPT Phan Bội Châu