Một sân chơi cho trẻ em hình chữ nhật có chiều dài 100 m và chiều rộng là 60 m người ta làm một con đường nằm trong sân (tham khảo hình bên). Biết rằng viền ngoài và viền trong của con đường là hai đường elip, elip của đường viền ngoài có trục lớn và trục bé lần lượt song song với các cạnh hình chữ nhật và chiều rộng của mặt đường là 2 m. Kinh phí cho mỗi m2 làm đường 600 000 đồng. Tính tổng số tiền (làm tròn đến hàng nghìn) làm con đường đó.
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiGắn hệ trục tọa độ Oxy: đặt gốc tọa độ O vào tâm của hình elip và hai trục tọa độ song song với các cạnh của hình chữ nhật.
+ Phương trình Elip của đường viền ngoài của con đường là \(\left( {{E}_{1}} \right):\frac{{{x}^{2}}}{{{50}^{2}}}+\frac{{{y}^{2}}}{{{30}^{2}}}=1\) Phần đồ thị của \(\left( {{E}_{1}} \right)\) nằm phía trên trục hoành có phương trình \(y=30\sqrt{1-\frac{{{x}^{2}}}{{{50}^{2}}}}={{f}_{1}}\left( x \right)\).
+ Phương trình Elip của đường viền trong của con đường là \(\left( {{E}_{2}} \right):\frac{{{x}^{2}}}{{{48}^{2}}}+\frac{{{y}^{2}}}{{{28}^{2}}}=1\). Phần đồ thị của \(\left( {{E}_{2}} \right)\) nằm phía trên trục hoành có phương trình \(y=28\sqrt{1-\frac{{{x}^{2}}}{{{48}^{2}}}}={{f}_{2}}\left( x \right)\)
+Gọi \({{S}_{1}}\) là diện tích của \(\left( {{E}_{1}} \right)\) và \({{S}_{2}}\) là diện tích của \(\left( {{E}_{2}} \right).\)
Gọi S là diện tích con đường. Khi đó
\(S={{S}_{1}}-{{S}_{2}}=2\int\limits_{-50}^{50}{30\sqrt{1-\frac{{{x}^{2}}}{{{50}^{2}}}}\text{d}x}-2\int\limits_{-48}^{48}{28\sqrt{1-\frac{{{x}^{2}}}{{{48}^{2}}}}\text{d}x}\)
Tính tích phân \(I=2\int\limits_{-a}^{a}{b\sqrt{1-\frac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}}\text{d}x},\left( a,b\in {{\mathbb{R}}^{+}} \right)\)
Đặt \(x=a\sin t,\left( -\frac{\pi }{2}\le t\le \frac{\pi }{2} \right)\Rightarrow \text{d}x=a\cos t\text{d}t\).
Đổi cận \(x=-a\Rightarrow t=-\frac{\pi }{2};x=a\Rightarrow t=\frac{\pi }{2}.\)
Khi đó \(I=2\int\limits_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}{b\sqrt{1-{{\sin }^{2}}t}.a\cos t\,\text{d}t}=2ab\int\limits_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}{{{\cos }^{2}}t\,\text{d}t}=ab\int\limits_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}{\left( 1+\cos 2t \right)\text{d}t}\)
\(=ab\left. \left( t+\frac{\sin 2t}{2} \right) \right|_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}=ab\pi \)
Do đó \(S={{S}_{1}}-{{S}_{2}}=50.30\pi -48.28\pi =156\pi \)
Vậy tổng số tiền làm con đường đó là \(600000.S=600000.156\pi \approx 294053000\) đồng.
Đề thi thử THPT QG năm 2021 môn Toán
Trường THPT Thủ Đức lần 2
Câu hỏi liên quan
-
Công thức tính thể tích khối trụ có chiều cao h và bán kính đáy r là:
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau:
.PNG)
Hàm số nghịch biến trong khoảng nào?
-
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{x^2} - 2}&{{\rm{ khi }}x \ge 3}\\ {2x + 1}&{{\rm{ khi }}x < 3} \end{array}} \right.\). Tích phân \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{f\left( {3\tan x + 1} \right)}}{{{{\cos }^2}x}}\;dx} \) bằng
-
Cho hình lăng trụ đều \(ABC{A}'{B}'{C}'\) có \(AB=a\,;\,A{A}'=a\sqrt{2}\) (như hình vẽ). Tính góc giữa đường thẳng \(A{C}'\) và mặt phẳng \(\left( AB{B}'{A}' \right)\).
.png)
-
Tích phân \(\int\limits_1^3 {\left( {4{x^3} + 1} \right){\rm{d}}x} \) bằng:
-
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz. Hãy viết phương trình chính tắc của đường thẳng qua \(A\left( 2\,;\,1\,;\,-1 \right)\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( \alpha \right):2x+y-z+5=0\)
-
Một hình nón có đường kính đáy là 6cm, độ dài đường sinh là 3cm. Diện tích xung quanh của hình nón đó bằng
-
Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên có hai chữ số. Xác suất để chọn được một số lẻ và chia hết cho 5 bằng
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) có \(f\left( 0 \right)=1\) và đồ thị hàm số \(y=f'\left( x \right)\) như hình vẽ.
.jpg.png)
Hàm số \(y=\left| f\left( 3x \right)-9{{x}^{3}}-1 \right|\) đồng biến trên khoảng
-
Đạo hàm của hàm số \(y = {3^{2x + 1}}\) là
-
Nghiệm của phương trình \({\log _3}\left( {2x - 1} \right)\) là:
-
Cho hai số phức z=3-4i và \(\text{w}=5+i\). Số phức \(\text{z}\,\text{+}\,\text{w}\) là:
-
Số phức liên hợp của số phức \(z = 3 - 4i\) là:
-
Với a là số thực dương tùy ý, \(\sqrt[3]{{{a}^{4}}}\) bằng:
-
Cho hàm số bậc ba \(y=f\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ, biết \(f\left( x \right)\) đạt cực tiểu tại điểm x=1 và thỏa mãn \(\left[ f\left( x \right)+1 \right]\) và \(\left[ f\left( x \right)-1 \right]\) lần lượt chia hết cho \({{\left( x-1 \right)}^{2}}\) và \({{\left( x+1 \right)}^{2}}\). Gọi \({{S}_{1}},{{S}_{2}}\) lần lượt là diện tích như trong hình bên. Tính \(2{{S}_{2}}+8{{S}_{1}}\).
.jpg.png)
-
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu có phương trình \({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x+4y+2z-1=0\). Bán kính của mặt cầu là
-
Số giao điểm của đồ thị hàm số \(y={{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+x-12\) và trục Ox là
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau:
.PNG)
Hàm số đã cho đạt cực đại tại
-
Trong không gian Oxyz, cho điểm \(A(1\,;\,-1\,;\,3)\) và hai đường thẳng \({{d}_{1}}:\frac{x-4}{1}=\frac{y+2}{4}=\frac{z-1}{-2}, {{d}_{2}}:\frac{x-2}{1}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z-1}{1}\). Viết phương trình đường thẳng d đi qua A,vuông góc với đường thẳng \({{d}_{1}}\) và cắt đường thẳng \({{d}_{2}}\).
-
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm \(A\left( 1;2;-1 \right)\) và \(B\left( 0;2;3 \right)\). Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng đi qua hai điểm A, B?
