Gọi \(F\left( x \right)\) là nguyên hàm trên \(\mathbb{R}\) của hàm số \(f\left( x \right) = {x^2}{e^{a\,x}}\left( {a \ne 0} \right),\) sao cho \(F\left( {\frac{1}{a}} \right) = F\left( 0 \right) + 1\). Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau.
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có \(f\left( x \right) = {x^2}{e^{ax}} \Rightarrow F\left( x \right) = \int\limits_{}^{} {{x^2}{e^{ax}}dx} \)
Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = {x^2}\\dv = {e^{ax}}dx\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = 2xdx\\v = \frac{{{e^{ax}}}}{a}\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow F\left( x \right) = {x^2}.\frac{{{e^{ax}}}}{a} - \frac{2}{a}\int\limits_{}^{} {x.{e^{ax}}dx} + C\)
Xét \({I_1} = \int\limits_{}^{} {x.{e^{ax}}dx} \). Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}a = x\\db = {e^{ax}}dx\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}da = dx\\b = \frac{{{e^{ax}}}}{a}\end{array} \right. \Rightarrow {I_1} = x\frac{{{e^{ax}}}}{a} - \frac{1}{a}\int\limits_{}^{} {{e^{ax}}dx} + C = x\frac{{{e^{ax}}}}{a} - \frac{{{e^{ax}}}}{{{a^2}}} + C\)
\( \Rightarrow F\left( x \right) = {x^2}.\frac{{{e^{ax}}}}{a} - \frac{2}{a}\left( {x\frac{{{e^{ax}}}}{a} - \frac{{{e^{ax}}}}{{{a^2}}}} \right) + C = \frac{{{x^2}{e^{ax}}}}{a} - \frac{{2x{e^{ax}}}}{{{a^2}}} + \frac{{2{e^{ax}}}}{{{a^3}}}\)
\( \Rightarrow F\left( 0 \right) + 1 = \frac{2}{{{a^3}}} + 1\) và \(F\left( {\frac{1}{a}} \right) = \frac{{\frac{1}{{{a^2}}}e}}{a} - \frac{{2\frac{1}{a}e}}{{{a^2}}} + \frac{{2e}}{{{a^3}}} = \frac{e}{{{a^3}}} - \frac{{2e}}{{{a^3}}} + \frac{{2e}}{{{a^3}}} = \frac{e}{{{a^3}}}\)
Theo bài ra ta có \(\frac{e}{{{a^3}}} = \frac{2}{{{a^3}}} + 1 = \frac{{2 + {a^3}}}{{{a^3}}} \Leftrightarrow a = \sqrt[3]{{e - 2}} \approx 0,9\).
Chọn A.
Đề thi thử THPT QG năm 2022 môn Toán
Trường THPT Lê Quảng Chí
Câu hỏi liên quan
-
Cho hàm số \(y = \frac{{mx + 1}}{{x - 2m}}\) với tham số \(m \ne 0\). Giao điểm của hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số thuộc đường thẳng có phương trình nào dưới đây?
-
Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ \(Oxy,\) cho đường thẳng \(d\) cắt hai trục \(Ox\) và \(Oy\) lần lượt tại 2 điểm \(A\left( {a;0} \right)\) và \(B\left( {0;b} \right)\) \(\left( {a \ne 0,\,\,b \ne 0} \right)\). Viết phương trình đường thẳng \(d\).
-
Tìm số giá trị nguyên thuộc đoạn \(\left[ { - 2019;2019} \right]\) của tham số \(m\) để đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{\sqrt {x - 3} }}{{{x^2} + x - m}}\) có đúng hai đường tiệm cận.
-
Cho \(a\), \(b\) là các số dương thỏa mãn \({\log _9}a = {\log _{16}}b = {\log _{12}}\dfrac{{5b - a}}{2}\). Tính giá trị \(\dfrac{a}{b}\).
-
Tính giới hạn \(L = \lim \dfrac{{{n^3} - 2n}}{{3{n^2} + n - 2}}\).
-
Cho tập hợp \(S = \left\{ {1;2;3;4;5;6} \right\}.\) Gọi \(M\) là tập hợp các số tự nhiên có 6 chữ số đôi một khác nhau lấy từ \(S\) sao cho tổng chữ số các hàng đơn vị, hàng chục và hàng trăm lớn hơn tổng chữ số các hàng còn lại là 3. Tính tổng \(T\) của các phần tử của tập hợp \(M.\)
-
Cho lăng trụ đứng tam giác \(ABC.A'B'C'\) . Gọi \(M,{\rm N},P,Q\) là các điểm lần lượt thuộc các cạnh \(AA',\,BB',CC',\,B'C'\) thỏa mãn \(\frac{{AM}}{{AA'}} = \frac{1}{2},\,\frac{{B{\rm N}}}{{BB'}} = \frac{1}{3},\,\frac{{CP}}{{CC'}} = \frac{1}{4},\,\,\frac{{C'Q}}{{C'B'}} = \frac{1}{5}\). Gọi \({V_1},\,{V_2}\) lần lượt là thể tích khối tứ diện \(MNPQ\) và khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'.\) Tính tỷ số \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}}.\)
-
Tìm điều kiện cần và đủ của \(a,\,\,b,\,\,c\) để phương trình \(a\sin x + b\cos x = c\) có nghiệm?
-
Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào nghịch biến trên tập số thực \(\mathbb{R}\) ?
-
Cho tích phân \(\int_1^2 {\frac{{\ln x}}{{{x^2}}}dx = \frac{b}{c} + a\ln 2} \) với \(a\) là số thực, \(b\) và \(c\) là các số nguyên dương, đồng thời \(\frac{b}{c}\) là phân số tối giản. Tính giá trị của biểu thức \(P = 2a + 3b + c\)
-
Cho hàm số \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{2\cos x - 1}}{{{{\sin }^2}x}}\) trên khoảng \(\left( {0;\pi } \right).\) Biết rằng giá trị lớn nhất của \(F\left( x \right)\) trên khoảng \(\left( {0;\pi } \right)\) là \(\sqrt 3 \). Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau?
-
Một khối trụ có thể tích bằng \(25\pi .\) Nếu chiều cao hình trụ tăng lên năm lần và giữa nguyên bán kính đáy thì được một hình trụ mới có diện tích xung quanh bằng \(25\pi \) . Tính bán kính đát \(r\) của hình trụ ban đầu.
-
Cho tích phân \(I = \int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx = 2} .\) Tính tích phân \(J = \int\limits_0^2 {\left[ {3f\left( x \right) - 2} \right]} dx\) .
-
Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) với số hạng đầu \({u_1} = - 6\) và công sai \(d = 4\). Tính tổng \(S\) của 14 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó.
-
Tìm nghiệm của phương trình \({\sin ^4}x - {\cos ^4}x = 0\).
-
Tìm số hạng đầu \({u_1}\) của cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) biết rằng \({u_1} + {u_2} + {u_3} = 168\) và \({u_4} + {u_5} + {u_6} = 21.\)
-
Tính diện tích \(S\) của hình phẳng \(\left( H \right)\) giới hạn bởi các đường cong \(y = - {x^3} + 12x\) và \(y = - {x^2}\)
-
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị như hình vẽ. Mệnh đề nào sau đây SAI?
.JPG)
-
Cho tập \(A\) có \(26\) phần tử. Hỏi \(A\) có bao nhiêu tập con gồm \(6\) phần tử?
-
Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'.\) Biết tích của khoảng cách từ điểm \(B'\) và điểm \(D\) đến mặt phẳng \(\left( {D'AC} \right)\) bằng \(6{a^2}\left( {a > 0} \right)\) . Giả sử thể tích của khối lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) là \(k{a^3}.\) Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau.
