Đội văn nghệ của lớp 12A có 5 học sinh nam và 7 học sinh nữ. Có bao nhiêu cách chọn ra 2 học sinh của đội văn nghệ sao cho 2 học sinh có 1 học sinh nam và 1 học sinh nữ.

Cho hàm số \(y=\frac{x+m}{x-3}(m\) là tham số) thỏa mãn \(\underset{\left[ -1;2 \right]}{\mathop{\min }}\,y=-2.\) Mệnh đề nào dưới đây đúng? 

Đường cong ở hình dưới đây là đồ thị của hàm số \(y=\frac{x+a}{bx+c},\left( a,b,c\in \mathbb{Z} \right).\) Khi đó giá trị biểu thức \(T=a-3b-2c\) bằng 

Cho hàm số \(y=-{{x}^{3}}-3\left( m+1 \right){{x}^{2}}+3\left( 2m-1 \right)x+2020.\) Có bao nhiêu giá trị nguyên \(m\) để hàm số nghịch biến trên \(\left( -\infty ;+\infty  \right)?\)

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại \(B\) có \(AC=2A. \) Cạnh \(SA\) vuông góc với đáy và \(SA=2a. \) Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua \(A,\) vuông góc với cạnh \(SB\) tại \(K\) và cắt cạnh \(SC\) tại \(H.\) Gọi \({{V}_{1}},{{V}_{2}}\) lần lượt là thể tích của khối tứ diện \(SAHK\) và khối đa diện \(ABCHK.\) Tỉ số \(\frac{{{V}_{2}}}{{{V}_{1}}}\) bằng 

Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình vẽ bên?

Tổng tất cả nghiệm của phương trình \(\sin 2x+4\sin x-2\cos x-4=0\) trên đoạn \(\left[ 0;100\pi  \right]\).

Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) có đồ thị như hình vẽ. Phương trình \(f\left( 2-f\left( x \right) \right)=0\) có tất cả bao nhiêu nghiệm thực phân biệt?

Gọi \({{x}_{1}},{{x}_{2}}\left( {{x}_{1}}<{{x}_{2}} \right)\) là hai nghiệm của phương trình \({{3}^{2x-1}}-{{4.3}^{x}}+9=0.\) Giá trị của biểu thức \(P={{x}_{2}}-2{{x}_{1}}\) bằng 

Tập nghiệm của bất phương trình \({{6.9}^{x}}-{{12.6}^{x}}+{{6.4}^{x}}\le 0\) có dạng \(S=\left[ a;b \right].\) Giá trị của biểu thức \({{a}^{2}}+{{b}^{2}}\) bằng 

Cho lăng trụ đứng có đáy là tam giác đều cạnh \(2a\) và chiều cao \(a\) Thể tích của khối lăng trụ bằng

Cho hình lăng trụ có hai đáy là đường tròn tâm \(O\) và \(O',\) bán kính đáy bằng chiều cao bằng \(4a. \) Trên đường tròn đáy có tâm \(O\) lấy điểm \(A,D;\) trên đường tròn \(O'\)lấy điểm \(B,C\) sao cho \(AB\) song song với \(CD\) và \(AB\) không cắt \(OO'.\) Tính độ dài \(AD\) để thể tích khối chóp \(O'.ABCD\) đạt giá trị lớn nhất?

Tập nghiệm của bất phương trình \({{3}^{x-1}}>27\) là

Cho bất phương trình \(\ln \left( {{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+m \right)\ge \ln \left( {{x}^{2}}+5 \right).\) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\in \left[ -20;20 \right]\) để bất phương trình đúng nghiệm với mọi \(x\) trên đoạn \(\left[ 0;3 \right].\)

Cho lăng trụ tam giác \(ABC.A'B'C'\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông tại \(A,AB=a\sqrt{3},AC=a. \) Điểm \(A'\) cách đều ba điểm \(A,B,C. \) Góc giữa đường thẳng \(AB'\) và mặt phẳng \(\left( ABC \right)\) bằng \({{60}^{0}}.\) Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AA'\) và \(BC\) bằng

Hệ số của \({{x}^{5}}\) trong khai triển \({{x}^{2}}{{\left( x-2 \right)}^{5}}+{{\left( 2x-1 \right)}^{6}}\) bằng

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y={{x}^{3}}-2x+3\) tại điểm \(M\left( 2;7 \right)\) là

Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông tại \(B,BC=2a,BA=a\sqrt{3}.\) Biết tam giác \(SAB\) vuông tại \(A,\) tam giác \(SBC\) cân tại \(S,\left( SAB \right)\) tạo với mặt phẳng \(\left( SBC \right)\) một góc \(\varphi \) thỏa mãn \(\sin \varphi =\sqrt{\frac{20}{21}}.\) Thể tích của khối chóp \(S.ABC\) bằng

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thoi tâm \(O\) cạnh \(a. \) Biết \(SA=SB=SC=a. \) Đặt \(SD=x\left( 0<x<a\sqrt{3} \right).\) Tính \(x\) theo \(a\) sao cho \(AC.SD\) đạt giá trị lớn nhất.

Cho hàm số \(y={{x}^{3}}-\frac{3}{2}{{x}^{2}}+1.\) Gọi \(M\) là giá trị lớn nhất của hàm số trên \(\left( -25;\frac{11}{10} \right).\) Tìm M. 

Cho phương trình \(\log _{3}^{2}x-\left( 2m+1 \right){{\log }_{3}}x+{{m}^{2}}+m=0.\) Gọi \(S\) là tập hợp các giá trị của tham số thực \(m\) để phương trình có hai nghiệm phân biệt \({{x}_{1}},{{x}_{2}}\left( {{x}_{1}}<{{x}_{2}} \right)\) thỏa mãn \(\left( {{x}_{1}}+1 \right)\left( {{x}_{2}}+3 \right)=48\). Số phần tử của tập \(S\) là