Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông tại \(B,BC=2a,BA=a\sqrt{3}.\) Biết tam giác \(SAB\) vuông tại \(A,\) tam giác \(SBC\) cân tại \(S,\left( SAB \right)\) tạo với mặt phẳng \(\left( SBC \right)\) một góc \(\varphi \) thỏa mãn \(\sin \varphi =\sqrt{\frac{20}{21}}.\) Thể tích của khối chóp \(S.ABC\) bằng
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.png)
+ Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC,\) dựng hình chữ nhật \(ABMH\)
Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l} AB \bot SH\\ BC \bot SH \end{array} \right. \Rightarrow SH \bot \left( {ABC} \right)\)
Kẻ \(HI\bot SA\Rightarrow HI\bot \left( SAB \right).\)
\(HJ\bot SM\Rightarrow HJ\bot \left( SBC \right)\)
\(\Rightarrow \left( \left( SAB \right),\left( SBC \right) \right)=\angle IHJ.\)
+ Đặt \(SH=x\Rightarrow HI=\frac{ax}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{x}^{2}}}};HJ=\frac{a\sqrt{3}a}{\sqrt{3{{a}^{2}}+{{x}^{2}}}};SI=\frac{{{x}^{2}}}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{x}^{2}}}};SJ=\frac{{{x}^{2}}}{\sqrt{3{{a}^{2}}+{{x}^{2}}}}.\)
\(\cos ASM=\frac{{{x}^{2}}}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{x}^{2}}}.\sqrt{3{{a}^{2}}+{{x}^{2}}}};I{{J}^{2}}=S{{I}^{2}}+S{{J}^{2}}-2SI.SJ.\cos ASM=\frac{4{{a}^{2}}{{x}^{4}}}{\left( {{a}^{2}}+{{x}^{2}} \right)\left( 3{{a}^{2}}+{{x}^{2}} \right)}\)
\(\sin \varphi =\sqrt{\frac{20}{21}}\Rightarrow \cos \varphi =\sqrt{\frac{1}{21}}.\)
\(\cos \varphi =\frac{H{{I}^{2}}+H{{J}^{2}}-I{{J}^{2}}}{2HI.HJ}\)
\(\Leftrightarrow \frac{2}{\sqrt{21}}.\frac{ax}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{x}^{2}}}}.\frac{a\sqrt{3}a}{\sqrt{3{{a}^{2}}+{{x}^{2}}}}=\frac{{{a}^{2}}{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}+{{x}^{2}}}+\frac{3{{a}^{2}}{{x}^{2}}}{3{{a}^{2}}+{{x}^{2}}}-\frac{4{{a}^{2}}{{x}^{4}}}{\left( {{a}^{2}}+{{x}^{2}} \right)\left( 3{{a}^{2}}+{{x}^{2}} \right)}\)
\(\Leftrightarrow \frac{2}{\sqrt{7}}\sqrt{{{a}^{2}}+{{x}^{2}}}.\sqrt{3{{a}^{2}}+{{x}^{2}}}=6{{a}^{2}}\Leftrightarrow x=a\sqrt{6}.\)
\({{V}_{S.ABC}}=\frac{1}{3}SH.{{S}_{ABC}}={{a}^{3}}\sqrt{2}.\)
Đề thi thử THPT QG năm 2021 môn Toán
Trường THPT Lý Thái Tổ lần 3
Câu hỏi liên quan
-
Đội văn nghệ của lớp 12A có 5 học sinh nam và 7 học sinh nữ. Có bao nhiêu cách chọn ra 2 học sinh của đội văn nghệ sao cho 2 học sinh có 1 học sinh nam và 1 học sinh nữ.
-
Cho hai số dương \(a,b\) thỏa mãn \({{a}^{2}}{{b}^{3}}=64.\) Giá trị của biểu thức \(P=2{{\log }_{2}}a+3{{\log }_{2}}b\) bằng
-
Gọi \(S\) là tổng các nghiệm của phương trình \(\log _{\frac{1}{2}}^{2}x-6{{\log }_{8}}\left( 4x \right)+1=0.\) Tính giá trị của \(S.\)
-
Phương trình tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y=\frac{4-3x}{4x+5}\) là
-
Tổng tất cả nghiệm của phương trình \(\sin 2x+4\sin x-2\cos x-4=0\) trên đoạn \(\left[ 0;100\pi \right]\).
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau:
.png)
Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
-
Cho hàm số \(y=\frac{x+m}{x-3}(m\) là tham số) thỏa mãn \(\underset{\left[ -1;2 \right]}{\mathop{\min }}\,y=-2.\) Mệnh đề nào dưới đây đúng?
-
Cho phương trình \(\log _{3}^{2}x-\left( 2m+1 \right){{\log }_{3}}x+{{m}^{2}}+m=0.\) Gọi \(S\) là tập hợp các giá trị của tham số thực \(m\) để phương trình có hai nghiệm phân biệt \({{x}_{1}},{{x}_{2}}\left( {{x}_{1}}<{{x}_{2}} \right)\) thỏa mãn \(\left( {{x}_{1}}+1 \right)\left( {{x}_{2}}+3 \right)=48\). Số phần tử của tập \(S\) là
-
Tập nghiệm của bất phương trình \({{6.9}^{x}}-{{12.6}^{x}}+{{6.4}^{x}}\le 0\) có dạng \(S=\left[ a;b \right].\) Giá trị của biểu thức \({{a}^{2}}+{{b}^{2}}\) bằng
-
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông cạnh \(a,SA\) vuông góc với mặt đáy và \(SA=a\sqrt{2}.\) Góc giữa đường thẳng \(SC\) và mặt phẳng \(\left( ABCD \right)\) bằng
-
Cho khối nón có bán kính đường tròn đáy bằng \(R=3a,\) đường sinh \(l=5a,\) thể tích của khối nón bằng bao nhiêu?
-
Số nghiệm của phương trình \({{5}^{{{x}^{2}}-3x+2}}=25\) là
-
Gọi \({{x}_{1}},{{x}_{2}}\left( {{x}_{1}}<{{x}_{2}} \right)\) là hai nghiệm của phương trình \({{3}^{2x-1}}-{{4.3}^{x}}+9=0.\) Giá trị của biểu thức \(P={{x}_{2}}-2{{x}_{1}}\) bằng
-
Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\) bán kính \(R\) có diện tích bằng
-
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thoi tâm \(O\) cạnh \(a. \) Biết \(SA=SB=SC=a. \) Đặt \(SD=x\left( 0<x<a\sqrt{3} \right).\) Tính \(x\) theo \(a\) sao cho \(AC.SD\) đạt giá trị lớn nhất.
-
Cho \(x,y,z\) là ba số dương lập thành cấp số nhân; còn \({{\log }_{a}}x;{{\log }_{\sqrt{a}}}y;{{\log }_{\sqrt[3]{a}}}z\) lập thành cấp số cộng. Tính giá trị của biểu thức \(Q=\frac{2017x}{y}+\frac{2y}{z}+\frac{z}{x}.\)
-
Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông cân tại \(A,\) cạnh \(SA\) vuông góc với mặt đáy \(ABC. \) Biết \(SA=2a,BC=2a\sqrt{2}.\) Bán kính \(R\) của mặt dầu ngoại tiếp hình chóp \(S.ABC\) bằng
-
Cho lăng trụ tam giác \(ABC.A'B'C'\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông tại \(A,AB=a\sqrt{3},AC=a. \) Điểm \(A'\) cách đều ba điểm \(A,B,C. \) Góc giữa đường thẳng \(AB'\) và mặt phẳng \(\left( ABC \right)\) bằng \({{60}^{0}}.\) Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AA'\) và \(BC\) bằng
-
Một người gửi 200 triệu đồng vào ngân hàng với lãi suất 0,3% một tháng. Biết rằng nếu không rút tiền khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi tháng, số tiền lãi sẽ được nhập vào vốn ban đều để tính lãi cho tháng tiếp theo. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu tháng người đó thu được (cả số tiền gửi ban đầu và số tiền lãi) hơn 225 triệu đồng? (Giả định trong khoảng thời gan này lãi suất không thay đổi và người đó không rút tiền ra).
-
Số đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y=\frac{\sqrt{x+4}-2}{{{x}^{2}}-x}\) là
