Cho lăng trụ tam giác \(ABC.A'B'C'\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông tại \(A,AB=a\sqrt{3},AC=a. \) Điểm \(A'\) cách đều ba điểm \(A,B,C. \) Góc giữa đường thẳng \(AB'\) và mặt phẳng \(\left( ABC \right)\) bằng \({{60}^{0}}.\) Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AA'\) và \(BC\) bằng
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.png)
Ta có \(BC=2A. \) Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(A'\) xuống mặt phẳng \(\left( ABC \right).\) Do \(A'\) cách đều \(A,B,C\) nên hình chiếu vuông góc của \(A'\) lên mặt phẳng \(\left( ABC \right)\) trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC. \) Do đó \(H\) là trung điểm của cạnh \(BC\) và \(\Delta AHC\) đều cạnh \(A. \)
Dựng hình bình hành \(HABK\Rightarrow K\) là hình chiếu vuông góc của \(B'\) xuống mặt phẳng \(\left( ABC \right).\)
Do đó \(\left( \widehat{AB',\left( ABC \right)} \right)=\left( \widehat{AB',AK} \right)=\widehat{A'AK}={{60}^{0}}.\)
Áp dụng định lý côsin trong \(\Delta AHK\) ta có:
\(AK=\sqrt{A{{H}^{2}}+H{{K}^{2}}-2.AH.HK.\cos \left( {{150}^{0}} \right)}=\sqrt{{{a}^{2}}+{{\left( a\sqrt{3} \right)}^{2}}-2a.a\sqrt{3}.\left( -\frac{\sqrt{3}}{2} \right)}=a\sqrt{7}.\)
\(\Rightarrow A'H=B'K=AK.\tan {{60}^{0}}=a\sqrt{21}.\)
Dựng hình bình hành \(ACBM\) ta có:
\(BC//AM\Rightarrow d\left( BC,A'A \right)=d\left( BC,\left( A'AM \right) \right)=d\left( H,\left( A'AM \right) \right)\)
Kẻ \(HE\bot AM,HN\bot A'E\Rightarrow d\left( H,\left( A'AM \right) \right)=HN.\)
Ta có \(HE=AH.\sin {{60}^{0}}=A. \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{2}\Rightarrow \frac{1}{H{{N}^{2}}}=\frac{1}{H{{E}^{2}}}+\frac{1}{A'{{H}^{2}}}\Rightarrow HN=\frac{a\sqrt{609}}{29}=\frac{a\sqrt{21}}{\sqrt{29}}.\)
Vậy \(d\left( AA',BC \right)=d\left( H,\left( A'AM \right) \right)=\frac{a\sqrt{21}}{\sqrt{29}}.\)
Đề thi thử THPT QG năm 2021 môn Toán
Trường THPT Lý Thái Tổ lần 3
Câu hỏi liên quan
-
Tổng tất cả nghiệm của phương trình \(\sin 2x+4\sin x-2\cos x-4=0\) trên đoạn \(\left[ 0;100\pi \right]\).
-
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y={{x}^{3}}-2x+3\) tại điểm \(M\left( 2;7 \right)\) là
-
Gọi \(S\) là tập hợp các số tự nhiên có bốn chữ số đôi một khác nhau lập từ các số \(0;1;2;3;4;5;6;7.\) Chọn ngẫu nhiên 1 số từ tập hợp \(S.\) Tính xác suất để số được chọn có đúng 2 chữ số chẵn.
-
Cho lăng trụ đứng có đáy là tam giác đều cạnh \(2a\) và chiều cao \(a\) Thể tích của khối lăng trụ bằng
-
Gọi \({{x}_{1}},{{x}_{2}}\left( {{x}_{1}}<{{x}_{2}} \right)\) là hai nghiệm của phương trình \({{3}^{2x-1}}-{{4.3}^{x}}+9=0.\) Giá trị của biểu thức \(P={{x}_{2}}-2{{x}_{1}}\) bằng
-
Tập nghiệm của bất phương trình \({{3}^{x-1}}>27\) là
-
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh bằng \(2a\) Cạnh bên \(SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy \(\left( ABCD \right).\) Góc giữa mặt phẳng \(\left( SBC \right)\) và mặt đáy bằng \({{60}^{0}}.\) Tính thể tích của khối chóp.
-
Cho hình trụ với hai đáy là đường tròn đường kính \(2a,\) thiết diện qua trục là hình chữ nhật có diện tích bằng \(6{{a}^{2}}.\) Diện tích toàn phần của hình trụ bằng
-
Giá trị của biểu thức \(\ln 8a-\ln 2a\) bằng
-
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thoi tâm \(O\) cạnh \(a. \) Biết \(SA=SB=SC=a. \) Đặt \(SD=x\left( 0<x<a\sqrt{3} \right).\) Tính \(x\) theo \(a\) sao cho \(AC.SD\) đạt giá trị lớn nhất.
-
Cho bất phương trình \(\ln \left( {{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+m \right)\ge \ln \left( {{x}^{2}}+5 \right).\) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\in \left[ -20;20 \right]\) để bất phương trình đúng nghiệm với mọi \(x\) trên đoạn \(\left[ 0;3 \right].\)
-
Cho tứ diện \(ABCD\) có \(AB,AC,AD\) đôi một vuông góc với nhau. Biết \(AB=3a;AC=2a\) và \(AD=a. \) Tính thể tích của khối tứ diện đã cho?
-
Đội văn nghệ của lớp 12A có 5 học sinh nam và 7 học sinh nữ. Có bao nhiêu cách chọn ra 2 học sinh của đội văn nghệ sao cho 2 học sinh có 1 học sinh nam và 1 học sinh nữ.
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) có đồ thị như hình vẽ. Phương trình \(f\left( 2-f\left( x \right) \right)=0\) có tất cả bao nhiêu nghiệm thực phân biệt?
.jpg.png)
-
Cho khối nón có bán kính đường tròn đáy bằng \(R=3a,\) đường sinh \(l=5a,\) thể tích của khối nón bằng bao nhiêu?
-
Phương trình tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y=\frac{4-3x}{4x+5}\) là
-
Hình bát diện đều có bao nhiêu cạnh?
-
Cho \(x,y,z\) là ba số dương lập thành cấp số nhân; còn \({{\log }_{a}}x;{{\log }_{\sqrt{a}}}y;{{\log }_{\sqrt[3]{a}}}z\) lập thành cấp số cộng. Tính giá trị của biểu thức \(Q=\frac{2017x}{y}+\frac{2y}{z}+\frac{z}{x}.\)
-
Tập nghiệm của bất phương trình \({{6.9}^{x}}-{{12.6}^{x}}+{{6.4}^{x}}\le 0\) có dạng \(S=\left[ a;b \right].\) Giá trị của biểu thức \({{a}^{2}}+{{b}^{2}}\) bằng
-
Gọi \(S\) là tổng các nghiệm của phương trình \(\log _{\frac{1}{2}}^{2}x-6{{\log }_{8}}\left( 4x \right)+1=0.\) Tính giá trị của \(S.\)
