Có bao nhiêu số phức \(z\) thỏa mãn \(3\left| z+\overline{z} \right|+2\left| z-\overline{z} \right|=12\) và \(\left| z+2-3i \right|=\left| \overline{z}-4+i \right|\)?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiChọn D
Đặt \(z=x+iy\) với \(x,y\in \mathbb{R}\).
\(\left| z+2-3i \right|=\left| \overline{z}-4+i \right|\) \(\Leftrightarrow {{\left( x+2 \right)}^{2}}+{{\left( y-3 \right)}^{2}}={{\left( x-4 \right)}^{2}}+{{\left( -y+1 \right)}^{2}}\) \(\Leftrightarrow y=3x-1\)
\(3\left| z+\overline{z} \right|+2\left| z-\overline{z} \right|=12\) \(\Leftrightarrow 3.\left| 2x \right|+2.\left| 2iy \right|=12\) \(\Leftrightarrow 3\left| x \right|+2\left| y \right|=6\) \(\Rightarrow 3\left| x \right|+2\left| 3x-1 \right|=6\)
\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\left\{ \begin{array}{l} x < 0\\ - 3x + 2\left( {1 - 3x} \right) = 6 \end{array} \right.}\\ {\left\{ \begin{array}{l} 0 \le x < \frac{1}{3}\\ 3x + 2\left( {1 - 3x} \right) = 6 \end{array} \right.}\\ {\left\{ \begin{array}{l} x \ge \frac{1}{3}\\ 3x + 2\left( {3x - 1} \right) = 6 \end{array} \right.} \end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\left\{ \begin{array}{l} x < 0\\ x = - \frac{4}{9} \end{array} \right.}\\ {\left\{ \begin{array}{l} 0 \le x < \frac{1}{3}\\ x = \frac{{ - 4}}{3} \end{array} \right.}\\ {\left\{ \begin{array}{l} x \ge \frac{1}{3}\\ x = \frac{8}{9} \end{array} \right.} \end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = - \frac{4}{3}\\ x = \frac{8}{9} \end{array} \right.\)
Vậy có 2 số phức \(z\) thỏa yêu cầu bài toán.
Đề thi thử tốt nghiệp THPT môn Toán năm 2023
Trường THPT Nguyễn Đình Chiểu