Có bao nhiêu số nguyên \(a\left( a\ge 2 \right)\) sao cho tồn tại số thực x thỏa mãn \({{\left( {{a}^{\log x}}+2 \right)}^{\log a}}=x-2?\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có: \({{\left( {{a}^{\log x}}+2 \right)}^{\log a}}=x-2\Leftrightarrow {{\left( {{x}^{\log a}}+2 \right)}^{\log a}}=x-2\)
Đặt \(b=\log a\Leftrightarrow a={{10}^{b}}.\) Vì \(a\ge 2\Rightarrow b\ge \log 2>0.\)
Phương trình đã cho trở thành:
\({{\left( {{x}^{b}}+2 \right)}^{b}}=x-2\Leftrightarrow {{\left( {{x}^{b}}+2 \right)}^{b}}+\left( {{x}^{b}}+2 \right)={{x}^{b}}+x\left( * \right).\)
Xét hàm số \(f\left( t \right)={{t}^{b}}+t\) ta có \(f'\left( t \right)=b{{t}^{b-1}}+1>0\Rightarrow \) Hàm số \(y=f\left( t \right)\) đồng biến trên \(\mathbb{R}.\)
Do đó \(\left( * \right)\Leftrightarrow {{x}^{b}}+2=x\Leftrightarrow {{x}^{\log a}}=x-2\left( ** \right).\)
Với \(\log a\ge 1\) ta có đồ thị hàm số như sau:
.PNG)
⇒ Phương trình \(\left( ** \right)\) vô nghiệm.
Với \(\log a<1\) ta có đồ thị hàm số như sau:
.PNG)
⇒ Phương trình \(\left( ** \right)\) có nghiệm ⇒ Thỏa mãn.
\(\Rightarrow \log a<1\Leftrightarrow a<10.\) Kết hợp điều kiện đề bài ta có \(a\in \left\{ 2;3;4;...;9 \right\}.\)
Vậy có 8 giá trị của a thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu hỏi liên quan
-
Trong không gian Oxyz, vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng đi qua gốc tọa độ O và điểm \(M\left( 1;-2;1 \right)?\)
-
Cho hàm số \(f\left( x \right),\) đồ thị của hàm số \(y=f'\left( x \right)\) là đường cong trong hình bên. Giá trị lớn nhất của hàm số \(g\left( x \right)=f\left( 2x \right)-4x\) trên đoạn \(\left[ -\frac{3}{2};2 \right]\) bằng
.PNG)
-
Một khối chóp có diện tích đáy bằng 6 và chiều cao bằng 5. Thể tích của khối chóp bằng
-
Tích phân \(\int\limits_1^2 {{x^3}dx} \) bằng
-
Cho hai số phức z=3+i và w=2+3i. Số phức z-w bằng
-
Trong không gian Oxyz, đường thẳng đi qua hai điểm \(A\left( 1;2;-1 \right)\) và điểm \(B\left( 2;-1;1 \right)\) có phương trình tham số là:
-
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm \(A\left( 2;1;3 \right)\) và \(B\left( 6;5;5 \right).\) Xét khối nón \(\left( N \right)\) có đỉnh A, đường tròn đáy nằm trên mặt cầu đường kính AB. Khi \(\left( N \right)\) có thể tích lớn nhất thì mặt phẳng chứa đường tròn đáy của \(\left( N \right)\) có phương trình dạng 2x+by+cz+d=0. Giá trị của b+c+d bằng
-
Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn \(\left| z \right|=\sqrt{2}\) và \(\left( z+2i \right)\left( \overline{z}-2 \right)\) là số thuần ảo?
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau:
.PNG)
Điểm cực đại của hàm số đã cho là:
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có bảng xét dấu của đạo hàm \(f'\left( x \right)\) như sau:
.png)
Hàm số \(f\left( x \right)\) có bao nhiêu điểm cực trị?
-
Nghiệm của phương trình \({{\log }_{2}}\left( 3x \right)=3\) là:
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)=3{{x}^{2}}-1.\) Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
-
Nếu \(\int\limits_{1}^{3}{\left[ 2f\left( x \right)+1 \right]}dx=5\) thì \(\int\limits_{1}^{3}{f\left( x \right)dx}\) bằng
-
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB=AD=2 và \(AA'=2\sqrt{2}\) (tham thảo hình bên). Góc giữa đường thẳng CA' và mặt phẳng \(\left( ABCD \right)\) bằng
.png)
-
Nếu \(\int\limits_{1}^{2}{f\left( x \right)dx=5}\) và \(\int\limits_{2}^{3}{f\left( x \right)dx=-2}\) thì \(\int\limits_{1}^{3}{f\left( x \right)dx}\) bằng
-
Có bao nhiêu cách chọn ra 3 bạn từ một nhóm có 5 bạn?
-
Trong không gian Oxyz, mặt phẳng nào dưới đây đi qua điểm \(M\left( 1;-2;1 \right)?\)
-
Công thức tính thể tích V của khối nón có bán kính đáy r và chiều cao h là:
-
Cho ngẫu nhiên một số trong 15 số nguyên dương đầu tiên. Xác suất để chọn được số chẵn bằng
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)=\cos 2x.\) Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
