Có bao nhiêu giá trị m nguyên thuộc khoảng (-10;10) để đồ thị hàm số \(y = \frac{{\sqrt {x\left( {x - m} \right) - 1} }}{{x + 2}}\) có đúng ba đường tiệm cận?

A. 12

B. 11

C. 0

D. 10

Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án

Chủ đề: Đề thi THPT QG

Môn: Toán

Lời giải:

Báo sai

Ta có:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\sqrt {x\left( {x - m} \right)} - 1}}{{x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x\sqrt {1 - \frac{m}{x}} - 1}}{{x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\sqrt {1 - \frac{m}{x}} - \frac{1}{x}}}{{1 + \frac{2}{x}}} = 1\) hay y = 1 là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\sqrt {x\left( {x - m} \right)} - 1}}{{x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{ - x\sqrt {1 - \frac{m}{x}} - 1}}{{x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{ - \sqrt {1 - \frac{m}{x}} - \frac{1}{x}}}{{1 + \frac{2}{x}}} = - 1\) hay y = -1 là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Do đó bài toán thỏa khi và chỉ khi đồ thị hàm số chỉ có duy nhất một tiệm cận đứng.

Ta lại có: \(y = \frac{{\sqrt {x\left( {x - m} \right)} - 1}}{{x + 2}} = \frac{{{x^2} - mx - 1}}{{\left( {x + 2} \right)(\sqrt {x\left( {x - m} \right)} + 1)}}\)

Để đồ thị hàm số chỉ có duy nhất một đường TCĐ thì x =- 2 không là nghiệm của tử và x=-2 thuộc tập xác định của hàm số.

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
- 2( - 2 - m) \ge 0\\
{( - 2)^2} - m.( - 2) - 1 \ne 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m \ge - 2\\
2m + 3 \ne 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m \ge - 2\\
m \ne - \frac{3}{2}
\end{array} \right..\)

Do \(m \in ( - 10;10),m \in Z\) nên \(m \in \left\{ { - 2; - 1;0;1;...;8;9} \right\}\) và có 12 giá trị thỏa mãn.

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài