Cho tứ diện \(ABCD\) có độ dài cạnh bằng \(a,\left( S \right)\) là mặt tiếp xúc với sáu cạnh của tứ diện \(ABCD.M\) là một điểm thay đổi trên \(\left( S \right).\) Tính tổng \(T=M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}+M{{C}^{2}}+M{{D}^{2}}.\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.png)
Gọi I là tâm mặt cầu (S) thì I là tâm của tứ diện ABCD.
Gọi N là trung điểm của CD, O là tâm của tam giác BCD.
Ta có:
\(\begin{array}{l} BO = \frac{2}{3}BN = \frac{{a\sqrt 3 }}{3},ON = \frac{1}{3}BN = \frac{{a\sqrt 3 }}{6}\\ AO = \sqrt {A{B^2} - B{O^2}} = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}\\ AI = \frac{3}{4}AO = \frac{{a\sqrt 6 }}{4},OI = \frac{1}{4}AO = \frac{{a\sqrt 6 }}{{12}}\\ IN = \sqrt {O{I^2} + O{N^2}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{4} \end{array}\)
Bán kính mặt cầu là \(R=IN=\frac{a\sqrt{2}}{4}\)
\(\begin{array}{l} T = M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} + M{D^2} = {(\overrightarrow {IM} - \overrightarrow {IA} )^2} + {(\overrightarrow {IM} - \overrightarrow {IB} )^2} + {(\overrightarrow {IM} - \overrightarrow {IC} )^2} + {(\overrightarrow {IM} - \overrightarrow {ID} )^2}\\ = 4{\overrightarrow {IM} ^2} - 2\overrightarrow {IM} (\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} + \overrightarrow {ID} ) + ({\overrightarrow {IA} ^2} + {\overrightarrow {IB} ^2} + {\overrightarrow {IC} ^2} + {\overrightarrow {ID} ^2})\\ = 4{R^2} + 4I{A^2}\\ = 2{a^2} \end{array}\)
Vậy \(T=2{{a}^{2}}\)
Câu hỏi liên quan
-
Cho \(a,b,c\) là các số thực khác 0 thỏa mãn \({{4}^{a}}={{25}^{b}}={{10}^{c}}.\) Tính giá trị biểu thức \(A=\frac{c}{a}+\frac{c}{b}.\)
-
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật có \(AB=a;BC=2a.\) Hai mặt phẳng \(\left( SAB \right)\) và mặt phẳng \(\left( SAD \right)\) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy, cạnh \(SC\) hợp với mặt đáy góc \({{60}^{0}}.\) Tính thể tích khối chóp \(S.ABCD\) theo \(a.\)
-
Cho biểu thức \(P=\sqrt[4]{x\sqrt[3]{{{x}^{2}}.\sqrt[3]{x}}},x>0.\) Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
-
Giá trị của tổng \(S=C_{3}^{3}+C_{4}^{3}+...+C_{100}^{3}\) bằng
-
Tổng diện tích các mặt của một hình lập phương bằng 96. Tính thể tích của khối lập phương đó là?
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R},\) có đạo hàm \(f'\left( x \right)={{x}^{3}}{{\left( x-1 \right)}^{2}}\left( x+2 \right).\) Hỏi hàm số \(y=f\left( x \right)\) có bao nhiêu điểm cực trị?
-
Cho phương trình:
\({{2}^{-\left| \left| {{m}^{3}} \right|-3{{m}^{2}}+1 \right|}}.{{\log }_{81}}\left( \left| \left| {{x}^{3}} \right|-3{{x}^{2}}+1 \right|+2 \right)+{{2}^{-\left| \left| {{x}^{3}} \right|-3{{x}^{2}}+1 \right|-2}}.{{\log }_{3}}\left( \frac{1}{\left| \left| {{m}^{3}} \right|-3{{m}^{2}}+1 \right|+2} \right)=0\)
Gọi \(S\) là tập hợp tất cả các giá trị của \(m\) nguyên để phương trình đã cho có 6 nghiệm hoặc 7 nghiệm hoặc 8 nghiệm. Tính tổng bình phương tất cả các phần tử của tập \(S.\)
-
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a,\) tam giác \(SAB\) vuông tại \(S\) và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Hình chiếu vuông góc của \(S\) lên cạnh \(AB\) là điểm \(H\) thỏa mãn \(AH=2BH.\) Tính theo \(a\) thể tích \(V\) của khối chóp \(S.ABCD.\)
-
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thang vuông tại \(A\) và \(D\) với \(AD=DC=a,AB=2a.\) Hai mặt phẳng \(\left( SAB \right)\) và \(\left( SAD \right)\)cùng vuông góc với đáy. Góc giữa \(SC\) và mặt đáy bằng \({{60}^{0}}.\) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AC\) và \(SB.\)
-
Hàm số nào sau đây nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó?
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R},\) có \(f'\left( x \right)={{\left( x+2 \right)}^{2}}{{\left( x-2 \right)}^{3}}\left( -x+5 \right).\) Số điểm cực trị của hàm số \(y=f\left( x \right)\) là
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có đồ thị là đường cong \(\left( C \right)\), biết đồ thị của \(f'\left( x \right)\) như hình vẽ
.jpg.png)
Tiếp tuyến của đồ thị \(\left( C \right)\) tại điểm có hoành độ bằng 1 cắt đồ thị \(\left( C \right)\) tại hai điểm \(A,B\) phân biệt lần lượt có hoành độ \(a,b.\) Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
-
Tập xác định của hàm số \(y={{\log }_{2}}\left( {{x}^{2}}-2x \right)\) là
-
Cho khối chóp \(S.ABC,\) đáy \(ABC\) là tam giác có \(AB=AC=a,\widehat{BAC}={{60}^{0}},\widehat{SBA}=\widehat{SCA}={{90}^{0}},\) góc giữa \(\left( SAB \right)\) và \(\left( SAC \right)\) bằng \({{60}^{0}}.\) Thể tích của khối chóp đã cho bằng:
-
Cho mặt nón tròn xoay đỉnh \(S\) đáy là đường tròn tâm \(O\) có thiết diện qua trục là một tam giác đều cạnh bằng \(a.\text{ }A,B\) là hai điểm bất kì trên đường tròn \(\left( O \right).\) Thể tích khối chóp \(S.OAB\) đạt giá trị lớn nhất bằng
-
Một hình thang cân \(ABCD\) có đáy nhỏ \(AB=1,\) đáy lớn \(CD=3,\) cạnh bên \(BC=AD=\sqrt{2}.\) Cho hình thang \(ABCD\) quay quanh \(AB\) ta được khối nó xoay có thể tích là
-
Cho hai số thực dương \(a,b\) thỏa mãn \({{\log }_{4}}a={{\log }_{6}}b={{\log }_{9}}\left( a+b \right).\) Tính \(\frac{a}{b}.\)
-
Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y=\sqrt{6-x}+\sqrt{x-4}+\sqrt{\left( 6-x \right)\left( x-4 \right)}\) là \(M,m.\) Tính tổng \(M+m.\)
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đại hàm \(f'\left( x \right)={{\left( x+1 \right)}^{2}}\left( {{x}^{2}}-4x \right)\). Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số \(m\) để hàm số \(g\left( x \right)=f\left( 2{{x}^{2}}-12x+m \right)\) có đúng 5 điểm cực trị?
-
Một hình lập phương có cạnh 4cm. Người ta sơn đỏ mặt ngoài của hình lập phương rồi cắt hình lập phương bằng các mặt phẳng song song với các mặt của hình lập phương thành 64 hình lập phương nhỏ có cạnh 1cm. Có bao nhiêu hình lập phương có đúng một mặt được sơn đỏ?
