Cho tứ diện ABCD có các mặt ABC và BCD là các tam giác đều cạnh 2, hai mặt phẳng (ABD) và (ACD) vuông góc với nhau. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.png)
Các tam giác đều ABC và BCD có cạnh 2
\( \Rightarrow BD = DC = BC = AB = AC = 2\)
Nên tam giác CAD cân tại C và tam giác BAD cân tại B.
Lấy H là trung điểm \(AD \Rightarrow CH \bot AD\) (do tam giác CAD cân tại C)
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}
\left( {CAD} \right) \bot (BAD)\\
(CAD) \cap (BAD) = AD\\
CH \bot AD,BH \subset (CAD)
\end{array} \right. \Rightarrow CH \bot (BAD) \Rightarrow CH \bot BH\) (1)
Lại có \(\Delta CAD = \Delta BAD\left( {c - c - c} \right)\) nên BH = CH (2)
Từ (1) và (2) suy ra tam giác CHB vuông cân tại H có cạnh huyền CB = 2.
Suy ra \(B{C^2} = B{H^2} + C{H^2} \Leftrightarrow 2B{H^2} = {2^2} \Rightarrow BH = CH = \sqrt {2.} \)
Xét tam giác CAH vuông tại H có \(\cos ACH = \frac{{CH}}{{AC}} = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow ACH = {45^0}\)
Lại thấy CH là phân giác của ACD (vì \(\Delta CAD\) cân tại C) nên \(ACH = HCD = {45^0} \Rightarrow ACD = {90^0}\)
Hay tam giác CAD vuông cân tại \(C \Rightarrow CH = \frac{1}{2}AD = HA = HD\) (3)
Vì \(\Delta CAD = \Delta BAD\left( {c - c - c} \right)\) nên \(\Delta ABD\) vuông cân tại \(B \Rightarrow BH = \frac{{AD}}{2} = HD = HA\) (4)
Từ (3) và (4) suy ra \(HA = HB = HC = HD = \sqrt 2 \)hay H là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD và bán
kính mặt cầu là \(\sqrt{2}\)
Đề thi thử THPT QG môn Toán năm 2019
Trường THPT Thăng Long lần 1
Câu hỏi liên quan
-
Trong các hàm số dưới đây, đồ thị hàm số nào nhận trục tung là đường tiệm cận?
-
Cho hàm số \(y=f(x)\) liên tục trên [-3;2] và có bảng biến thiên như sau. Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y=f(x)\) trên đoạn [-1;2]. Tính M + m.
.PNG)
-
Tính theo a thể tích của một khối trụ có bán kính đáy là a, chiều cao bằng 2a.
-
Cho hàm số \(f\left( x \right) = a{x^4} + b{x^3} + c{x^2} + dx + e.\) Hàm số \(y = f'\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
.png)
-
Có bao nhiêu giá trị m nguyên thuộc khoảng (-10;10) để đồ thị hàm số \(y = \frac{{\sqrt {x\left( {x - m} \right) - 1} }}{{x + 2}}\) có đúng ba đường tiệm cận?
-
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a, Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và A'B'. Mặt phẳng (MND') chia khối lập phương thành hai khối đa diện, trong đó khối chứa điểm C gọi là (H). Tính thể tích khối (H).
-
Mỗi bạn An , Bình chọn ngẫu nhiên 3 chữ số trong tập \(\left\{ {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} \right\}.\) Tính xác suất để trong hai bộ ba chữ số mà An, Bình chọn ra có đúng một chữ số giống nhau.
-
Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy, \(SA = a\sqrt 3 ,AB = a,BC = 2a,AC = a\sqrt 5 .\) Tính thể tích khối chóp S.ABC theo \(a\).
-
Cho hàm số \(f(x)\) có đồ thị như hình vẽ bên. Bất phương trình \(f\left( {{e^x}} \right) < m\left( {3{e^x} + 2019} \right)\) có nghiệm \(x \in (0;1)\) khi và chỉ khi
.png)
-
Tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = \frac{{ - x + 1}}{{3x - 2}}\) tại giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung có hệ số góc là:
-
Cho hàm số \(y = a{x^4} + b{x^2} + c\) có đồ thị như hình vẽ bên. Tìm kết luận đúng.
.png)
-
Tìm đạo hàm của hàm số \(y = \ln \left( {1 + {e^{2x}}} \right).\)
-
Tổng các nghiệm của phương trình \({\log _4}{x^2} - {\log _2}3 = 1\) là:
-
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ bên. Phương trình \(2f\left( x \right) - 5 = 0\) có bao nhiêu nghiệm âm?
.png)
-
Anh Bình gửi 200 triệu đồng vào ngân hàng VB với kì hạn cố định 12 tháng và hưởng mức lãi suất là 0,65%/tháng. Tuy nhiên, sau khi gửi được tròn 8 tháng anh Bình có việc phải dùng đến 200 triệu trên. Anh đến ngân hàng đình rút tiền thì được nhân viên ngân hàng tư vấn: “Nếu rút tiền trước hạn, toàn bộ số tiền anh gửi chỉ được hưởng mức lãi suất không kì hạn là 0,02%/tháng. Anh nên thế chấp sổ tiết kiệm đó tại ngân hàng để vay ngân hàng 200 triệu với lãi suất 0,7%/tháng. Khi sổ của anh đến hạn, anh có thể rút tiền để trả nợ ngân hàng”. Nếu làm theo tư vấn của nhân viên ngân hàng, anh Bình sẽ đỡ thiệt một số tiền gần nhất với con số nào dưới đây (biết rằng ngân hàng tính lãi theo thể thức lãi kép)?
-
Cho tam giác ABC vuông tại A. Đường thẳng d đi qua A và song song với BC. Cạnh BC quay xung quanh d tạo thành một mặt xung quanh của hình trụ có thể tích là V1. Tam giác ABC quay xung quanh trục d được khối tròn xoay có thể tích là V2. Tính tỉ số \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}}.\)
-
Cho hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}
{2^{x - y}} - {2^y} + x = 2y\\
{2^x} + 1 = \left( {m{}^2 + 2} \right){.2^y}.\sqrt {1 - {y^2}}
\end{array} \right.(1),m\) là tham số. Gọi S là tập các giá trị nguyên để hệ (1) có một nghiệm duy nhất. Tập S có bao nhiêu phần tử? -
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào sau đây?
.png)
-
Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\) ?
-
Một mặt cầu có diện tích xung quanh là \(\pi \) thì có bán kính bằng
