Cho số thực \(\alpha \) sao cho phương trình \({2^x} - {2^{ - x}} = 2cos(\alpha x)\) có đúng 2019 nghiệm thực. Số nghiệm của phương trình \({2^x} + {2^{ - x}} = 4 + 2cos(\alpha x)\) là:

A. 2019

B. 2018

C. 4037

D. 4038

Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án

Chủ đề: Đề thi THPT QG

Môn: Toán

Lời giải:

Báo sai

Ta có \({2^x} + {2^{ - x}} = 4 + 2cos(\alpha x) \Leftrightarrow {\left( {{2^{\frac{x}{2}}} - {2^{ - \frac{x}{2}}}} \right)^2} = 4co{s^2}\frac{{\alpha x}}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{2^{\frac{x}{2}}} - {2^{ - \frac{x}{2}}} = 2cos\frac{{\alpha x}}{2}(1)\\
{2^{\frac{x}{2}}} - {2^{ - \frac{x}{2}}} = - 2cos\frac{{\alpha x}}{2}(2)
\end{array} \right.\)

Thay vào phương trình (1) ta có \({2^0} - {2^0} = 2cos0 \Leftrightarrow 0 = 1\) (Vô lí), kết hợp với giả thiết ta có phương trình (1) có 2019 nghiệm thực khác 0.

Với x₀là nghiệm của phương trình (1)

\( \Leftrightarrow {2^{\frac{{{x_0}}}{2}}} - {2^{ - \frac{{{x_0}}}{2}}} = 2cos\frac{{\alpha {x_0}}}{2} \Leftrightarrow {2^{\frac{{( - {x_0})}}{2}}} - {2^{\frac{{ - ( - {x_0})}}{2}}} = - 2cos\frac{{\alpha ( - {x_0})}}{2} \Rightarrow - {x_0}\) là nghiệm của phương trình (2)

Thay \(x = - {x_0}\) vào phương trình (1) ta có:

\( \Leftrightarrow {2^{ - \frac{{{x_0}}}{2}}} - {2^{\frac{{{x_0}}}{2}}} = 2cos\frac{{\alpha ( - {x_0})}}{2} = 2cos\frac{{\alpha {x_0}}}{2} = {2^{\frac{{{x_0}}}{2}}} - {2^{\frac{{ - {x_0}}}{2}}}\)

\( \Leftrightarrow {2.2^{\frac{{{x_0}}}{2}}} = {2.2^{\frac{{ - {x_0}}}{2}}} \Leftrightarrow {2^{\frac{{{x_0}}}{2} + 1}} = {2^{\frac{{ - {x_0}}}{2} + 1}} \Leftrightarrow \frac{{{x_0}}}{1} + 1 = - \frac{{{x_0}}}{1} + 1 \Leftrightarrow {x_0} = 0\) (vô lí do \({x_0} \ne 0\) )

\( \Rightarrow - {x_0}\) không là nghiệm của phương trình (1), điều đó đảm bảo mọi nghiệm của phương trình (2) không trùng với nghiệm của phương trình (1).

Do đó phương trình (2) cũng có 2019 nghiệm.

Vậy phương trình ban đầu có 2019.2 = 4038 nghiệm

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài