Cho số phức z thỏa mãn \(\left| z+1 \right|=\sqrt{3}\). Tìm giá trị lớn nhất của \(T=\left| z+4-i \right|+\left| z-2+i \right|\).
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiGọi \(z=x+yi,\,\,\left( x,\,y\in \mathbb{R} \right)\)
Ta có, số phức z thỏa mãn \(\left| z+1 \right|=\sqrt{3}\Leftrightarrow {{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}=3\)
Suy ra, tập hợp tất cả các số phức thỏa mãn thỏa mãn \(\left| z+1 \right|=\sqrt{3}\) là một đường tròn có tâm \(I\left( -1\,;\,0 \right)\) và bán kính \(r=\sqrt{3}\).
Gọi \(M\left( x\,;\,y \right)\in C\left( I,\sqrt{3} \right)\)
\(\Rightarrow T=\left| z+4-i \right|+\left| z-2+i \right|\)
\(=M{{I}_{1}}+M{{I}_{2}}=\sqrt{{{\left( x+4 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}}+\sqrt{{{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}}\), với \({{I}_{1}}\left( -4\,;\,1 \right),\,\,{{I}_{2}}\left( 2\,;\,-1 \right)\)
Ta có, \(\overrightarrow{I{{I}_{1}}}=\left( -3\,;\,1 \right),\,\overrightarrow{I{{I}_{2}}}=\left( 3\,;\,-1 \right)\). Suy ra \(\overrightarrow{I{{I}_{1}}},\,\,\overrightarrow{I{{I}_{2}}}\) cùng phương và 3 điểm \(I,\,\,{{I}_{1}},\,\,{{I}_{2}}\) thẳng hàng.
Ta lại có, I là trung điểm của \({{I}_{1}},\,\,{{I}_{2}}\) và \(\left| \overrightarrow{I{{I}_{1}}} \right|=\sqrt{10}>r,\,\,\left| \overrightarrow{I{{I}_{2}}} \right|=\sqrt{10}>r\). Suy ra các điểm \({{I}_{1}},\,\,{{I}_{2}}\) nằm ngoài đường tròn \(C\left( I,\sqrt{3} \right)\)
Ta có, hình biểu diễn tập hợp các điểm M.
.jpg.png)
Mặt khác: \(M{{I}_{1}}^{2}+M{{I}_{2}}^{2}=2M{{I}^{2}}+\frac{{{I}_{1}}{{I}_{2}}^{2}}{2}=2.3+20=26\), với \(\left| \overrightarrow{{{I}_{1}}{{I}_{2}}} \right|=\sqrt{26},\,\,\,\,\,\overrightarrow{{{I}_{1}}{{I}_{2}}}=\left( 6\,;-2 \right)\)
Ta có, \(T=M{{I}_{1}}+M{{I}_{2}}\le \sqrt{2\left( M{{I}_{1}}^{2}+M{{I}_{2}}^{2} \right)}\Rightarrow T=M{{I}_{1}}+M{{I}_{2}}\le 2\sqrt{13}\)
Vậy, giá trị lớn nhất của \(T=\left| z+4-i \right|+\left| z-2+i \right|\) bằng \(2\sqrt{13}\) khi và chỉ khi \(M{{I}_{1}}=M{{I}_{2}}\Rightarrow \Delta M{{I}_{1}}{{I}_{2}}\) cân tại M.
Đề thi thử THPT QG năm 2021 môn Toán
Trường THPT Nguyễn Văn Cừ lần 2
Câu hỏi liên quan
-
Có 6 bi gồm 2 bi đỏ, 2 bi vàng, 2 bi xanh. Xếp ngẫu nhiên các viên bi thành một hàng ngang. Tính xác suất để hai viên bi vàng không xếp cạnh nhau?
-
Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng \(\left( P \right):2x-y+z-1=0\). Điểm nào dưới đây thuộc \(\left( P \right)\)?
-
Cho hàm số y = g(x) có đồ thị như hình vẽ bên.
.jpg.png)
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào sau đây?
-
Điểm \(A\) trong hình bên dưới là điểm biểu diễn số phức \(z\).
.jpg.png)
Mệnh đề nào dưới đây đúng?
-
Cho cấp số cộng \(\left( {{u}_{n}} \right)\) có số hạng đầu \({{u}_{1}}=2\) và công sai d=5. Giá trị của \({{u}_{5}}\) bằng
-
Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y={{x}^{3}}-2{{x}^{2}}-4x+5\) trên đoạn \(\left[ 1\,;\,3 \right]\) bằng
-
Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, SA=2a. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD.
-
Có mấy giá trị nguyên dương của m để bất phương trình \({{9}^{{{m}^{2}}x}}+{{4}^{{{m}^{2}}x}}\ge m{{.5}^{{{m}^{2}}x}}\) có nghiệm?
-
Có bao nhiêu số phức z có phần thực bằng 2 và \(\left| z+1-2i \right|=3\)?
-
Có bao nhiêu số nguyên dương n để \({{\log }_{n}}256\) là một số nguyên dương?
-
Trong không gian Oxyz, mặt cầu \(\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-8x+2y+1=0\) có tọa độ tâm I và bán kính R lần lượt là
-
Cho n và k là hai số nguyên dương tùy ý thỏa mãn \(k\le n\) mệnh đề nào dưới đây đúng?
-
Cho hàm số \(y=\frac{x-1}{x+2}\). Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng?
-
Rút gọn biểu thức \(P=\frac{{{a}^{\sqrt{3}+1}}.{{a}^{2-\sqrt{3}}}}{{{\left( {{a}^{\sqrt{2}-2}} \right)}^{\sqrt{2}+2}}}\) với a>0
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) liên tục trên \(\left[ \frac{1}{2};\,\,2 \right]\) và thỏa điều kiện \(f\left( x \right)+2.f\left( \frac{1}{x} \right)=3x\,\,\,\forall x\in {{\mathbb{R}}^{*}}\). Tính \(I=\int\limits_{\frac{1}{2}}^{2}{\frac{f\left( x \right)}{x}dx}\).
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Biết \(SA\bot \left( ABCD \right)\) và \(SA=a\sqrt{3}\). Thể tích của khối chóp \(\text{S}.ABCD\) là:
-
Trong không gian Oxyz, cho điểm \(M\left( -3\ ;\ -2\ ;\ 1 \right)\). Hình chiếu vuông góc của điểm M lên mặt phẳng \(\left( Oxy \right)\) là điểm:
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) xác định và có đạo hàm \({f}'\left( x \right)\) liên tục trên \(\left[ 1\,;\,3 \right],f\left( x \right)\ne 0\) với mọi \(x\in \left[ 1\,;3 \right]\), đồng thời \({f}'\left( x \right){{\left[ 1+f\left( x \right) \right]}^{2}}={{\left[ {{\left( f\left( x \right) \right)}^{2}}\left( x-1 \right) \right]}^{2}}\) và \(f\left( 1 \right)=-1\). Biết rằng \(\int\limits_{1}^{3}{f\left( x \right)\text{d}x}=a\ln 3+b\,\,\,\left( a\in \mathbb{Z},\,\,b\in \mathbb{Z} \right)\), tính tổng \(S=a+{{b}^{2}}\).
-
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l} x = 2 - t\\ y = 1 + 2t\\ z = 3 + t \end{array} \right.\) có một véctơ chỉ phương là
-
Cho số phức \(z={{(1-2i)}^{2}}\). Tính mô đun của số phức \(\frac{1}{z}\).
