Cho hàm số \(f\left( x \right)\) xác định và có đạo hàm \({f}'\left( x \right)\) liên tục trên \(\left[ 1\,;\,3 \right],f\left( x \right)\ne 0\) với mọi \(x\in \left[ 1\,;3 \right]\), đồng thời \({f}'\left( x \right){{\left[ 1+f\left( x \right) \right]}^{2}}={{\left[ {{\left( f\left( x \right) \right)}^{2}}\left( x-1 \right) \right]}^{2}}\) và \(f\left( 1 \right)=-1\). Biết rằng \(\int\limits_{1}^{3}{f\left( x \right)\text{d}x}=a\ln 3+b\,\,\,\left( a\in \mathbb{Z},\,\,b\in \mathbb{Z} \right)\), tính tổng \(S=a+{{b}^{2}}\).
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiVới \(x\in \left[ 1;\,\,3 \right]\) ta có: \({f}'\left( x \right){{\left[ 1+f\left( x \right) \right]}^{2}}={{\left[ {{\left( f\left( x \right) \right)}^{2}}\left( x-1 \right) \right]}^{2}}\Leftrightarrow \frac{{f}'\left( x \right){{\left[ 1+f\left( x \right) \right]}^{2}}}{{{\left[ f\left( x \right) \right]}^{4}}}={{\left( x-1 \right)}^{2}}\)
\(\,\,\,\Leftrightarrow \left( \frac{1}{{{\left[ f\left( x \right) \right]}^{4}}}+\frac{2}{{{\left[ f\left( x \right) \right]}^{3}}}+\frac{1}{{{\left[ f\left( x \right) \right]}^{2}}} \right){f}'\left( x \right)={{x}^{2}}-2x+1\)
Suy ra: \(-\frac{1}{3{{\left[ f\left( x \right) \right]}^{3}}}-\frac{1}{{{\left[ f\left( x \right) \right]}^{2}}}-\frac{1}{f\left( x \right)}=\frac{{{x}^{3}}}{3}-{{x}^{2}}+x+C\) (lấy nguyên hàm hai vế).
Ta lại có: \(f\left( 1 \right)=-1\Rightarrow \frac{1}{3}-1+1=\frac{1}{3}-1+1+C\Rightarrow C=0\)
Dẫn đến: \(-\frac{1}{3}{{\left( \frac{1}{f\left( x \right)} \right)}^{3}}-{{\left( \frac{1}{f\left( x \right)} \right)}^{2}}-\frac{1}{f\left( x \right)}=-\frac{1}{3}{{\left( -x \right)}^{3}}-{{\left( -x \right)}^{2}}-\left( -x \right)\,\,\,\,\left( * \right)\)
Vì hàm số \(g\left( t \right)=-\frac{1}{3}{{t}^{3}}-{{t}^{2}}-t\) nghịch biến trên \(\mathbb{R}\) nên \(\left( * \right)\Rightarrow \frac{1}{f\left( x \right)}=-x\Rightarrow f\left( x \right)=-\frac{1}{x}\).
Hàm số này thỏa các giả thiết của bài toán.
Do đó \(\int\limits_{1}^{3}{f\left( x \right)\text{d}x}=\int\limits_{1}^{3}{\left( -\frac{1}{x} \right)\text{d}x=-}\ln 3\Rightarrow a=-1,\,\,b=0\).
Vậy \(S=a+{{b}^{2}}=-1\).
Đề thi thử THPT QG năm 2021 môn Toán
Trường THPT Nguyễn Văn Cừ lần 2
Câu hỏi liên quan
-
Cho n và k là hai số nguyên dương tùy ý thỏa mãn \(k\le n\) mệnh đề nào dưới đây đúng?
-
Trong không gian Oxyz, mặt cầu \(\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-8x+2y+1=0\) có tọa độ tâm I và bán kính R lần lượt là
-
Cho hai số thực x, y thỏa mãn \({x\left( 3+2i \right)+y\left( 1-4i \right)=1+24i}\). Giá trị \({x+y}\) bằng
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, \(SA\bot \left( ABCD \right)\). Gọi I là trung điểm của SC. Khoảng cách từ I đến mặt phẳng \(\left( ABCD \right)\) bằng độ dài đoạn thẳng nào?
-
Cho cấp số cộng \(\left( {{u}_{n}} \right)\) có số hạng đầu \({{u}_{1}}=2\) và công sai d=5. Giá trị của \({{u}_{5}}\) bằng
-
Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng 2a, cạnh bên bằng 3a. Gọi \(\alpha \) là góc giữa mặt bên và mặt đáy, mệnh đề nào dưới đây đúng?
-
Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, SA=2a. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD.
-
Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng \(\left( P \right):2x-y+z-1=0\). Điểm nào dưới đây thuộc \(\left( P \right)\)?
-
Có 6 bi gồm 2 bi đỏ, 2 bi vàng, 2 bi xanh. Xếp ngẫu nhiên các viên bi thành một hàng ngang. Tính xác suất để hai viên bi vàng không xếp cạnh nhau?
-
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l} x = 2 - t\\ y = 1 + 2t\\ z = 3 + t \end{array} \right.\) có một véctơ chỉ phương là
-
Cho hàm số \(y=\frac{3x}{5x-2}\). Khẳng định nào sau đây đúng?
-
Gọi \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)={{\text{e}}^{-x}}+\cos x\). Tìm khẳng định đúng.
-
Biết hai đồ thị hàm số \(y={{x}^{3}}+{{x}^{2}}-2\) và \(y=-{{x}^{2}}+x\) cắt nhau tại ba điểm phân biệt \(A,\,B,\,C\). Khi đó diện tích tam giác ABC bằng
-
Có bao nhiêu số nguyên dương n để \({{\log }_{n}}256\) là một số nguyên dương?
-
Cho số phức \(z={{(1-2i)}^{2}}\). Tính mô đun của số phức \(\frac{1}{z}\).
-
Cho hàm số \(y=\frac{x-1}{x+2}\). Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng?
-
Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm \(A\left( 2\,;\,0\,;\,1 \right), B\left( 3\,;\,1\,;\,5 \right), C\left( 1\,;\,2\,;\,0 \right), D\left( 4\,;\,2\,;\,1 \right)\). Gọi \(\left( \alpha \right)\) là mặt phẳng đi qua D sao cho ba điểm A, B, C nằm cùng phía đối với \(\left( \alpha \right)\) và tổng khoảng cách từ các điểm A, B, C đến mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) là lớn nhất. Giả sử phương trình \(\left( \alpha \right)\) có dạng: 2x+my+nz-p=0. Khi đó, T=m+n+p bằng:
-
Trong không gian Oxyz, cho điểm M(3;2;-1) và mặt phẳng (P):x+z-2=0. Đường thẳng đi qua M và vuông góc với (P) có phương trình là
-
Hình vuông OABC có cạnh bằng 4 được chia thành hai phần bởi đường cong \(\left( C \right)\) có phương trình \(y=\frac{1}{4}\,{{x}^{2}}\). Gọi \({{S}_{1}}\,,\,\,{{S}_{2}}\) lần lượt là diện tích của phần không bị gạch và bị gạch như hình vẽ bên dưới. Tỉ số \(\frac{{{S}_{1}}}{{{S}_{2}}}\) bằng
.jpg)
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Biết \(SA\bot \left( ABCD \right)\) và \(SA=a\sqrt{3}\). Thể tích của khối chóp \(\text{S}.ABCD\) là:
