Cho hàm số \(f\left( x \right)\) xác định và có đạo hàm \({f}'\left( x \right)\) liên tục trên \(\left[ 1\,;\,3 \right],f\left( x \right)\ne 0\) với mọi \(x\in \left[ 1\,;3 \right]\), đồng thời \({f}'\left( x \right){{\left[ 1+f\left( x \right) \right]}^{2}}={{\left[ {{\left( f\left( x \right) \right)}^{2}}\left( x-1 \right) \right]}^{2}}\) và \(f\left( 1 \right)=-1\). Biết rằng \(\int\limits_{1}^{3}{f\left( x \right)\text{d}x}=a\ln 3+b\,\,\,\left( a\in \mathbb{Z},\,\,b\in \mathbb{Z} \right)\), tính tổng \(S=a+{{b}^{2}}\).
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiVới \(x\in \left[ 1;\,\,3 \right]\) ta có: \({f}'\left( x \right){{\left[ 1+f\left( x \right) \right]}^{2}}={{\left[ {{\left( f\left( x \right) \right)}^{2}}\left( x-1 \right) \right]}^{2}}\Leftrightarrow \frac{{f}'\left( x \right){{\left[ 1+f\left( x \right) \right]}^{2}}}{{{\left[ f\left( x \right) \right]}^{4}}}={{\left( x-1 \right)}^{2}}\)
\(\,\,\,\Leftrightarrow \left( \frac{1}{{{\left[ f\left( x \right) \right]}^{4}}}+\frac{2}{{{\left[ f\left( x \right) \right]}^{3}}}+\frac{1}{{{\left[ f\left( x \right) \right]}^{2}}} \right){f}'\left( x \right)={{x}^{2}}-2x+1\)
Suy ra: \(-\frac{1}{3{{\left[ f\left( x \right) \right]}^{3}}}-\frac{1}{{{\left[ f\left( x \right) \right]}^{2}}}-\frac{1}{f\left( x \right)}=\frac{{{x}^{3}}}{3}-{{x}^{2}}+x+C\) (lấy nguyên hàm hai vế).
Ta lại có: \(f\left( 1 \right)=-1\Rightarrow \frac{1}{3}-1+1=\frac{1}{3}-1+1+C\Rightarrow C=0\)
Dẫn đến: \(-\frac{1}{3}{{\left( \frac{1}{f\left( x \right)} \right)}^{3}}-{{\left( \frac{1}{f\left( x \right)} \right)}^{2}}-\frac{1}{f\left( x \right)}=-\frac{1}{3}{{\left( -x \right)}^{3}}-{{\left( -x \right)}^{2}}-\left( -x \right)\,\,\,\,\left( * \right)\)
Vì hàm số \(g\left( t \right)=-\frac{1}{3}{{t}^{3}}-{{t}^{2}}-t\) nghịch biến trên \(\mathbb{R}\) nên \(\left( * \right)\Rightarrow \frac{1}{f\left( x \right)}=-x\Rightarrow f\left( x \right)=-\frac{1}{x}\).
Hàm số này thỏa các giả thiết của bài toán.
Do đó \(\int\limits_{1}^{3}{f\left( x \right)\text{d}x}=\int\limits_{1}^{3}{\left( -\frac{1}{x} \right)\text{d}x=-}\ln 3\Rightarrow a=-1,\,\,b=0\).
Vậy \(S=a+{{b}^{2}}=-1\).
Đề thi thử THPT QG năm 2021 môn Toán
Trường THPT Nguyễn Văn Cừ lần 2
Câu hỏi liên quan
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f\prime \left( x \right)={{\left( x+1 \right)}^{4}}{{\left( x-m \right)}^{5}}{{\left( x+3 \right)}^{3}}\) với mọi \(x\in \mathbb{R}\). Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \({m \in [ - 5 ; 5 ]}\) để hàm số \(g\left( x \right)=f\left( \left| x \right| \right)\) có 3 điểm cực trị?
-
Điểm \(A\) trong hình bên dưới là điểm biểu diễn số phức \(z\).
.jpg.png)
Mệnh đề nào dưới đây đúng?
-
Nghiệm của phương trình \({{2}^{x+1}}=16\) là
-
Một biển quảng cáo có dạng Elip với bốn đỉnh \({{A}_{1}},{{A}_{2}},{{B}_{1}},{{B}_{2}}\). như hình vẽ. Người ta chia Elip bởi parapol có đỉnh \({{B}_{1}}\), trục đối xứng \({{B}_{1}}{{B}_{2}}\) và đi qua các điểm M, N.Sau đó sơn phần tô đậm với giá 200.000 đồng/\({{m}^{2}}\) và trang trí đèn led phần còn lại với giá 500.000 đồng/\({{m}^{2}}\).Hỏi kinh phí sử dụng gần nhất với giá trị nào dưới đây? Biết \({{A}_{1}}{{A}_{2}}=4m,{{B}_{1}}{{B}_{2}}=2m,\text{ }MN=2m\).
-
Cho hàm số \(y=\frac{3x}{5x-2}\). Khẳng định nào sau đây đúng?
-
Cho số phức z thỏa mãn \(\left| z+1 \right|=\sqrt{3}\). Tìm giá trị lớn nhất của \(T=\left| z+4-i \right|+\left| z-2+i \right|\).
-
Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng \(\left( P \right):2x-y+z-1=0\). Điểm nào dưới đây thuộc \(\left( P \right)\)?
-
Gọi \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)={{\text{e}}^{-x}}+\cos x\). Tìm khẳng định đúng.
-
Cho n và k là hai số nguyên dương tùy ý thỏa mãn \(k\le n\) mệnh đề nào dưới đây đúng?
-
Cho số phức \(z=5-2i\). Tìm số phức \(w=iz+\overline{z}\).
-
Trong không gian Oxyz, mặt cầu \(\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-8x+2y+1=0\) có tọa độ tâm I và bán kính R lần lượt là
-
Diện tích xung quanh của hình trụ có bán kính đáy R=4cm và đường sinh l=5cm bằng:
-
Cho hình nón có bán kính đáy bằng a và độ dài đường sinh bằng 2a. Diện tích xung quanh của hình nón đó bằng
-
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm \(M\left( 3;-2;5 \right), N\left( -1;6;-3 \right)\). Mặt cầu đường kính MN có phương trình là:
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)={{x}^{4}}\). Hàm số \(g\left( x \right)=f'\left( x \right)-3{{x}^{2}}-6x+1\) đạt cực tiểu, cực đại lần lượt tại \({{x}_{1}},\text{ }{{\text{x}}_{2}}\). Tính \(m=g\left( x{{ }_{1}} \right)g\left( {{x}_{2}} \right)\).
-
Trong không gian Oxyz, cho điểm M(3;2;-1) và mặt phẳng (P):x+z-2=0. Đường thẳng đi qua M và vuông góc với (P) có phương trình là
-
Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của hàm số nào sau đây?
.jpg.png)
-
Có mấy giá trị nguyên dương của m để bất phương trình \({{9}^{{{m}^{2}}x}}+{{4}^{{{m}^{2}}x}}\ge m{{.5}^{{{m}^{2}}x}}\) có nghiệm?
-
Trong không gian Oxyz, cho điểm \(M\left( -3\ ;\ -2\ ;\ 1 \right)\). Hình chiếu vuông góc của điểm M lên mặt phẳng \(\left( Oxy \right)\) là điểm:
-
Cho hình lăng trụ đứng \(ABC.{A}'{B}'{C}'\) có đáy ABC là tam giác vuông tại C, biết AB=2a, AC=a, BC'=2a. Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho.
