Cho số phức z thỏa mãn \(\left| z-1-i \right|+\left| z-3-2i \right|=\sqrt{5}\). Giá trị lớn nhất của \(\left| z+2i \right|\) bằng:
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiGọi \(z=x+yi,\,\left( x,y\in \mathbb{R} \right)\).
Khi đó \(\left| z-1-i \right|+\left| z-3-2i \right|=\sqrt{5}\Leftrightarrow ~\left| \left( x-1 \right)+\left( y-1 \right)i \right|+\left| \left( x-3 \right)+\left( y-2 \right)i \right|=\sqrt{5}\left( 1 \right)\).
Trong mặt phẳng Oxy, đặt \(A\left( 1;1 \right);\,B\left( 3;2 \right); M\left( a;b \right)\).
⇒ Số phức z thỏa mãn \(\left( 1 \right)\) là tập hợp điểm \(M\left( a;b \right)\) trên mặt phẳng hệ tọa độ Oxy thỏa mãn \(MA+MB=\sqrt{5}\).
Mặt khác \(AB=\sqrt{{{\left( 3-1 \right)}^{2}}+{{\left( 2-1 \right)}^{2}}}=\sqrt{5}\) nên quỹ tích điểm M là đoạn thẳng AB.
Ta có \(\left| z+2i \right|=\left| a+\left( b+2 \right)i \right|\). Đặt \(N\left( 0;-2 \right)\) thì \(\left| z+2i \right|=MN\).
Gọi H là hình chiếu vuông góc của N trên đường thẳng AB.
Phương trình AB:x-2y+1=0 .
Ta có \(H\left( -1;0 \right)\) nên hai điểm A,B nằm cùng phía đối với H.
Ta có \(\left\{ \begin{align} & AN=\sqrt{{{1}^{2}}+{{3}^{2}}}=\sqrt{10} \\ & BN=\sqrt{{{3}^{2}}+{{\left( 2+2 \right)}^{2}}}=5 \\ \end{align} \right.\).
Vì M thuộc đoạn thẳng AB nên áp dụng tính chất đường xiên và hình chiếu ta có \(AN\le MN\le BN=5\).
Vậy giá trị lớn nhất của \(\left| z+2i \right|\) bằng 5 đạt được khi \(M\equiv B\left( 3;2 \right)\), tức là z=3+2i.
Đề thi thử THPT QG năm 2021 môn Toán
Trường THPT Nguyễn Du lần 2
Câu hỏi liên quan
-
Cho hình chóp SABC có đáy là tam giác vuông tại A, AB=a, \(AC=a\sqrt{3}\), SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA=2a. Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng \(\left( SBC \right)\) bằng
-
Nếu \(\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)}\text{d}x=4\) thì \(\int\limits_{0}^{1}{2f\left( x \right)}\text{d}x\) bằng
-
Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng \(\left( ABC \right), SA=\sqrt{2}a\), tam giác ABC vuông cân tại B và AC=2a (minh họa như hình bên). Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng \(\left( ABC \right)\) bằng
.png)
-
Số phức liên hợp của số phức z = 2 + i là
-
Trên mặt phẳng tọa độ, điểm biểu diễn số phức z=-1+2i là điểm nào dưới đây?
-
Tập nghiệm của bất phương trình \(\log x\ge 1\) là
-
Giá trị của \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin xdx} \) bằng
-
Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm \(A\left( 1;\,2;\,-3 \right)\) và \(B\left( 3;\,-1;\,1 \right)\)?
-
Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên như sau:
.png)
Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại
-
Tính đạo hàm của hàm số \(y = {6^x}\)
-
Tìm họ nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {{\rm{e}}^{3x}}\)
-
Họ nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = 3{x^2} + \sin x\) là
-
Gọi M,m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y={{x}^{4}}-10{{x}^{2}}+2\) trên đoạn \(\left[ -1;2 \right]\) . Tổng M+m bằng:
-
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( P \right):x-2y+z-1=0\). Điểm nào dưới đây thuộc \(\left( P \right)\)?
-
Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình bên?
.jpg.png)
-
Một hội nghị có 15 nam và 6 nữ. Chọn ngẫu nhiên 3 người vào ban tổ chức. Xác suất để 3 người lấy ra là nam:
-
Tập giá trị của x thỏa mãn \(\frac{{{2.9}^{x}}-{{3.6}^{x}}}{{{6}^{x}}-{{4}^{x}}}\le 2\,\left( x\in \mathbb{R} \right)\) là \(\left( -\infty ;a \right]\cup \left( b;c \right].\) Khi đó \(\left( a+b+c \right)!\) bằng
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có đồ thị \(y={f}'\left( x \right)\) như hình vẽ bên. Đồ thị hàm số \(g\left( x \right)=\left| 2f\left( x \right)-{{\left( x-1 \right)}^{2}} \right|\) có tối đa bao nhiêu điểm cực trị?
.jpg.png)
-
Tính môđun số phức nghịch đảo của số phức \(z={{\left( 1-2i \right)}^{2}}\).
-
Thể tích của khối lập phương cạnh 2 bằng
