Cho parabol \((P):y=x^2\) và hai điểm A, B thuộc (P) sao cho AB = 2. Tìm giá trị lớn nhất của diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol (P) và đường thẳng AB.
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.png)
Gọi \(A\left( {a;{a^2}} \right)\) và \(B\left( {b;{b^2}} \right)\) là hai điểm thuộc (P) sao cho AB = 2.
Không mất tính tổng quát giả sử \(a
Theo giả thiết ta có AB = 2 nên \({\left( {b - a} \right)^2} + {\left( {{b^2} - {a^2}} \right)^2} = 4 \Leftrightarrow {\left( {b - a} \right)^2}\left[ {{{\left( {b - a} \right)}^2} + 1} \right] = 4\).
Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A và B là \(y = \left( {b + a} \right)x - ab\).
Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol (P) và đường thẳng AB ta có
\(S = \int\limits_a^b {\left[ {\left( {a + b} \right)x - ab - {x^2}} \right]{\rm{d}}x} = \left. {\left[ {\left( {a + b} \right)\frac{{{x^2}}}{2} - abx - \frac{{{x^3}}}{3}} \right]} \right|_a^b = \frac{{{{\left( {b - a} \right)}^3}}}{6}\)
Mặt khác \({\left( {b - a} \right)^2}\left[ {{{\left( {b - a} \right)}^2} + 1} \right] = 4\) nên \(\left| {b - a} \right| = b - a \le 2\) do \({\left( {b - a} \right)^2} + 1 \ge 1\).
Vậy \(S = \frac{{{{\left( {b - a} \right)}^3}}}{6} \le \frac{{{2^3}}}{6}\). Vậy \({S_{\max }} = \frac{4}{3}\).
Câu hỏi liên quan
-
Cho tam giác ABC vuông tại A với \(AB = a,AC = 2a\) quay xung quanh cạnh AB ta được một khối nón tròn xoay có đường sinh l bằng bao nhiêu ?
-
Một thùng thư, được thiết kế như hình vẽ bên, phần phía trên là nữa hình trụ. Thể tích của thùng đựng thư là
.png)
-
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B, hai mặt bên SAB và SAC cùng vuông góc với đáy, \(SB=2a, AB=BC=a\). Bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC là
-
Tìm nguyên hàm \(F\left( x \right) = \int {\left( {x + \sin x} \right)dx} \) biết \(F(0)=19\).
-
Cho hình vuông \(V_1\) có chu vi bằng 1. Người ta nối các trung điểm của các cạnh một cách thích hợp để có hình vuông \(V_2\) (tham khảo hình vẽ bên). Từ hình vuông \(V_2\) tiếp tục làm như trên ta được dãy các hình vuông \({V_1},{\rm{ }}{V_2},{\rm{ }}{V_3},...\) Tổng chu vi các hình vuông đó bằng
.png)
-
Một hình trụ có bán kính đáy 4 cm và có thiết diện qua trục là một hình vuông. Tính thể tích V của khối trụ đó.
-
Cho hàm số \(y = {x^3} - 2m{x^2} + \left( {{m^2} - 3} \right)x + {m^2} + 2m\,\,\left( C \right)\). Khi tham số thực m thay đổi nhận thấy đồ thị (C) luôn tiếp xúc với một parabol cố định (P). Gọi tọa độ đỉnh của parabol (P) là \(I\left( {{x_I};{y_I}} \right).\) Khi đó giá trị \(T = {x_I} - 2{y_I}\) là
-
Cho \(a = {\log _2}m\) và \(A = {\log _m}8m\), với \(0 < m \ne 1\). Khẳng định nào sau đây là đúng?
-
Cho số phức z thỏa mãn \(\left| z \right| = 2\). Tập hợp điểm biểu diễn số phức \(w = \left( {1 - i} \right)\overline z + 2i\) là
-
Cho hình vuông ABCD cạnh \(a\) trên đường thẳng vuông góc với (ABCD) tại A ta lấy điểm S di động. Hình chiếu vuông góc của A lên SB, SD lần lượt là H, K. Thể tích lớn nhất của tứ diện ACHK bằng
-
Cho hàm số \(f(x)\) liên tục trên đoạn [0;10] và \(\int\limits_0^{10} {f\left( x \right){\rm{d}}x = 7} \) và \(\int\limits_2^6 {f\left( x \right){\rm{d}}x = 3} \). Tính \(P = \int\limits_0^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x + \int\limits_6^{10} {f\left( x \right){\rm{d}}x} } \).
-
Cho cấp số nhân \((u_n)\) có \(u_2=-2\) và \(u_5=54\) Tính tổng 100 số hạng đầu tiên của cấp số nhân đã cho.
-
Biết rằng \(\int\limits_0^\pi {{e^x}\cos xdx} = a{e^\pi } + b\) trong đó \(a,b \in Q\). Tính \(P=a+b\)
-
Biết rằng đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right) = a{x^4} + b{x^3} + c{x^2} + dx + e\) (với \(a,b,c,d,e \in R\) và \(a \ne 0;{\rm{ }}b \ne 0\)) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt. Khi đó đồ thị hàm số \(g\left( x \right) = {\left[ {f'\left( x \right)} \right]^2} - f''\left( x \right).f\left( x \right) = 0\) cắt trục hoành tại bao nhiêu điểm?
-
Cho hàm số phù hợp với bảng biến thiên sau. Phát biểu nào sau đây đúng?
.png)
-
Tìm tập xác định của hàm số \(y = \sqrt {{{\log }_{\frac{1}{3}}}\left( {x - 3} \right)} .\)
-
Cho hai số thực \(x, y\) thoả mãn phương trình \(x + 2i = 3 + 4yi\). Khi đó giá trị của x và y là:
-
Thể tích của khối tròn xoay thu được khi quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = \sqrt x {{\rm{e}}^x}\), trục hoành và đường thẳng x = 1 là:
-
Ông Bách dự định đầu tư khoản tiền 20 triệu đồng vào một dự án với lãi suất tăng dần: 3,35%/năm trong 3 năm đầu, 3,75%/năm trong 2 năm kế tiếp và 4,8%/năm ở 5 năm cuối. Khoản tiền mà ông Bách nhận được (cả vốn và lãi) cuối năm thứ 10 là
-
Phương trình đường tròn (C) có tâm I(1;2) và tiếp xúc với đường thẳng \(\Delta :{\rm{ }}x--2y + 7 = 0\) là:
