Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh \(a,AA' = 2a\). Gọi \(\alpha\) là góc giữa AB' và BC'. Tính \(\cos \alpha \)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.png)
Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB', BB', B'C'.
Ta có: MN // AB' và NP // BC' (đường trung bình trong tam giác)
Do đó góc giữa hai đường thẳng AB' và BC' bằng góc giữa hai đường thẳng MN và NP.
Gọi Q là trung điểm của A'B' thì \(MQ \bot \left( {A'B'C'} \right) \Rightarrow MQ \bot QP\)
Tam giác MQP có \(MQ = AA' = 2a,Q = \frac{1}{2}A'C' = \frac{a}{2}\)
\( \Rightarrow MP = \sqrt {M{Q^2} + Q{P^2}} = \sqrt {4{a^2} + \frac{{{a^2}}}{4}} = \frac{{a\sqrt {17} }}{2}\)
Lại có \(MN = \frac{1}{2}AB' = \frac{1}{2}\sqrt {A{B^2} + BB{'^2}} = \frac{1}{2}\sqrt {{a^2} + 4{a^2}} = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}\)
\(NP = \frac{1}{2}BC' = \frac{1}{2}\sqrt {BB{'^2} + B'C{'^2}} = \frac{1}{2}\sqrt {4{a^2} + {a^2}} = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}\)
Áp dụng định lý hàm số cô sin trong tam giác MNP ta có:
\(\cos MNP = \frac{{M{N^2} + N{P^2} - M{P^2}}}{{2MN.NP}} = \frac{{\frac{{5{a^2}}}{4} + \frac{{5{a^2}}}{4} - \frac{{17{a^2}}}{4}}}{{2.\frac{{a\sqrt 5 }}{2}.\frac{{a\sqrt 5 }}{2}}} = - \frac{7}{{10}} < 0\)
Do đó góc giữa hai đường thẳng MN và NP thỏa mãn \(\cos \left( {MN,MP} \right) = \frac{7}{{10}}\)
Đề thi thử THPT QG môn Toán năm 2019
Trường THPT Lương Thế Vinh - Hà Nội lần 2
Câu hỏi liên quan
-
Trong hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng chéo nhau \({d_1}:\frac{{x - 2}}{2} = \frac{{y + 2}}{1} = \frac{{z - 6}}{{ - 2}}\) và \({d_2}:\frac{{x - 4}}{1} = \frac{{y + 2}}{{ - 2}} = \frac{{z + 1}}{3}\). Phương trình mặt phẳng (P) chứa \(d_1\) và song song với \(d_2\) là:
-
Cho các số phức z thỏa mãn \(\left| z \right| = 2\). Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn số phức \(w = 3 - 2i + \left( {4 - 3i} \right)z\) là một đường tròn. Tính bán kính r của đường tròn đó
-
Trong hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \(\Delta = \frac{{x - {x_0}}}{a} = \frac{{y - {y_0}}}{b} = \frac{{z - {z_0}}}{c}\). Điểm I nằm trên \(\Delta\) thì điểm M có dạng nào sau đây?
-
Cho các số thực \(a, b >1\) thỏa mãn \({a^{{{\log }_b}a}} + 16{b^{{{\log }_a}\left( {\frac{{{b^8}}}{{{a^3}}}} \right)}} = 12{b^2}\) giá trị của biểu thức \(P = {a^3} + {b^3}\) là
-
Tích của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f\left( x \right) = x + \frac{4}{x}\) trên đoạn [1;3] bằng
-
Đường thẳng \(y=m\) tiếp xúc với đồ thị \(\left( C \right):y - = - 2{x^4} + 4{x^2} - 1\) tại hai điểm phân biệt \(A\left( {{x_A};{y_A}} \right)\) và \(B\left( {{x_B};{y_B}} \right)\). Giá trị của biểu thức \({y_A} + {y_B}\).
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAD).
-
Trong hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(1;- 1;2) và hai đường thẳng \({d_1}:\left\{ \begin{array}{l}
x = t\\
y = 1 - t\\
z = - 1
\end{array} \right.\), \({d_2}:\frac{{x + 1}}{2} = \frac{{y - 1}}{1} = \frac{{z + 2}}{1}\). Đường thẳng \(\Delta\) đi qua M và cắt cả hai đường thẳng \(d_1, d_2\) có véc tơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_\Delta }} \left( {1;a;b} \right)\), tính \(a+b\) -
Có tất cả bao nhiêu giá trị thực của tham số m để đường thẳng \(d:y = mx + 1\) cắt đồ thị \(\left( C \right):{x^3} - {x^2} + 1\) tại ba điểm \(A;B\left( {0;1} \right);C\) phân biệt sao cho tam giác AOC vuông tại \(O\left( {0;0} \right)\)?
-
Hai người A và B ở cách nhau 180m trên một đoạn đường thẳng và cùng chuyển động thẳng theo một hướng với vận tốc biến thiên theo thời gian, A chuyện động với vận tốc \({v_1}\left( t \right) = 6t + 5\left( {m/s} \right)\), B chuyển động với vận tốc \({v_2}\left( t \right) = 2at - 3\left( {m/s} \right)\) (a là hằng số), trong đó t (giây) là khoảng thời gian từ lúc A, B bắt đầu chuyển động. Biết rằng lúc đầu A đuổi theo B và sau 10 (giây) thì đuổi kịp. Hỏi sau 20 giây, A cách B bao nhiêu mét?
-
Có bao nhiêu cách phân tích số \(15^9\) thành tích của ba số nguyên dương, biết rằng các cách phân tích mà các nhân tử chỉ khác nhau về thứ tự thì chỉ được tính một lần?
-
Đường cong như hình bên là đồ thị của hàm số nào sau đây?
.png)
-
Cho hai đường thẳng \({d_1}:\left\{ \begin{array}{l}
x = 1 + t\\
y = 2 - t\\
z = 3 + 2t
\end{array} \right.\) và \({d_2}:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - m}}{1} = \frac{{z + 2}}{{ - 1}}\) (với m là tham số). Tìm m để hai đưởng thẳng \(d_1, d_2\) cắt nhau. -
Họ nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = 2x\left( {1 + 3{x^3}} \right)\) là
-
Cho \(\int\limits_0^1 {\frac{{{9^x} + 3m}}{{{9^x} + 3}}dx} = {m^2} - 1\). Tính tổng tất cả các giá trị của tham số m.
-
Trong hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(3;5;3) và hai mặt phẳng \(\left( P \right):2x + y + 2z - 8 = 0\), \(\left( Q \right):x - 4y + z - 4 = 0\). Viết phương trình đường thẳng d đi qua A và song song với cả hai mặt phẳng (P), (Q).
-
Cho \(f\left( x \right),g\left( x \right)\) là các hàm số liên tục trên R thỏa mãn \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx = 3,\int\limits_0^2 {\left[ {f\left( x \right) - 3g\left( x \right)} \right]dx = 4} } \) và \(\int\limits_0^2 {\left[ {2f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]dx = 8} \). Tính \(\int\limits_1^2 {f\left( x \right)} dx\)
-
Trong hệ tọa độ Oxyz, cho điểm \(I\left( {2; - 1; - 1} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x - 2y - 2z + 3 = 0\). Viết phương rình mặt cầu (S) có tâm I và tiếp xúc với mặt phẳng (P)
-
Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC
-
Tìm hệ số của số hạng chứa \(x^9\) trong khai triển nhị thức Newton của biểu thức \({\left( {3 + x} \right)^{11}}\)
