Trong hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng chéo nhau ${d_1}:\frac{{x - 2}}{2} = \frac{{y + 2}}{1} = \frac{{z - 6}}{{ - 2}}$ và ${d_2}:\frac{{x - 4}}{1} = \frac{{y + 2}}{{ - 2}} = \frac{{z + 1}}{3}$. Phương trình mặt phẳng (P) chứa $d_1$ và song song với $d_2$ là:

Đồ thị hàm số $y =  - \frac{{{x^4}}}{2} + {x^2} + \frac{3}{2}$ cắt trục hoành tại mấy điểm?

Trong hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm $A\left( {1;0;0} \right);B\left( {0; - 1;0} \right);C\left( {0;0;2} \right)$. Phương trình mặt phẳng (ABC) là   

Một hình hộp chữ nhật có chiều cao là 90cm, đáy hình hộp là hình chữ nhật có chiều rộng là 50cm và chiều dài là 80cm. Trong khối hộp có chứa nước, mực nước so với đáy hộp có chiều cao là 40cm. Hỏi khi đặt vào khối hộp một khối trụ có chiều cao bằng chiều cao khối hộp và bán kính đáy là 20cm theo phương thẳng đứng thì chiều cao của mực nước so với đáy là bao nhiêu?

Họ nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = 2x\left( {1 + 3{x^3}} \right)$ là

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Một hình nón có đỉnh là tâm của hình vuông A'B'C'D' và có đường tròn đáy ngoại tiếp hình vuông ABCD. Tính diện tích xung quanh của hình nón đó.

Cho hai đường thẳng ${d_1}:\left\{ \begin{array}{l} x = 1 + t\\ y = 2 - t\\ z = 3 + 2t \end{array} \right.$ và ${d_2}:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - m}}{1} = \frac{{z + 2}}{{ - 1}}$ (với m là tham số). Tìm m để hai đưởng thẳng $d_1, d_2$ cắt nhau.

Tìm tập xác định của hàm số $y = {\left( {{x^2} + 2x - 3} \right)^e}$ 

Cho lăng trụ tứ giác đều có đáy là hình vuông cạnh a, chiều cao 2a. Tính thể tích khối lăng trụ.

Cho số phức $\overline z  = 3 + 2i$. Tìm phần thực và phần ảo của số phức z.  

Cho hai số phức z, w thay đổi thỏa mãn $\left| z \right| = 3,\left| {z - {\rm{w}}} \right| = 1$. Biết tập hợp điểm của số phức w là hình phẳng H. Tính diện tích S của hình H.

Cho khối nón (N) đỉnh S, chiều cao là $a\sqrt 3$ và độ dài đường sinh là 3a. Mặt phẳng (P) đi qua đỉnh S, cắt và tạo với mặt đáy của khối nón một góc $60^0$. Tính diện tích thiết diện tạo bởi mặt phẳng (P) và khối nón (N)

Đạo hàm của hàm số $y = {\log _8}\left( {{x^3} - 3x - 4} \right)$ là

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAD).

Trong hệ tọa độ Oxyz, cho điểm $I\left( {2; - 1; - 1} \right)$ và mặt phẳng $\left( P \right):x - 2y - 2z + 3 = 0$. Viết phương rình mặt cầu (S) có tâm I và tiếp xúc với mặt phẳng (P)  

Cho hàm số $y=x^3-3x^2+4$ có đồ thị (C) như hình vẽ bên và đường thẳng $d:y = {m^3} - 3{m^2} + 4$ (với m là tham số). Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt?

Một chiếc cổng có hình dạng là một Parabol có khoảng cách giữa hai chân cổng là AB = 8m. Người ta treo một tấm phông hình chữ nhật có hai đỉnh M, N nằm trên Parabol và hai đỉnh P, Q nằm trên  mặt đất (như hình vẽ). Ở phần phía ngoài phông (phần không tô đen) người ta mua hoa để trang trí với chi phí cho 1m² cần số tiền mua hoa là 200.000 đồng cho 1m². Biết MN = 4m; MQ = 6m. Hỏi số tiền dùng để mua hoa trang trí chiếc cổng gần với số tiền nào sau đây?

Cho phương trình $\log _3^2x - 4{\log _3}x + m - 3 = 0$. Tìm tất cả các giá trị nguyên của tham số m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn ${x_1} > {x_2} > 1$  

Có tất cả bao nhiêu giá trị thực của tham số m để đường thẳng $d:y = mx + 1$ cắt đồ thị $\left( C \right):{x^3} - {x^2} + 1$ tại ba điểm $A;B\left( {0;1} \right);C$ phân biệt sao cho tam giác AOC vuông tại $O\left( {0;0} \right)$?   

Có bao nhiêu cách phân tích số $15^9$ thành tích của ba số nguyên dương, biết rằng các cách phân tích mà các nhân tử chỉ khác nhau về thứ tự thì chỉ được tính một lần?

Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh $a,AA' = 2a$. Gọi $\alpha$ là góc giữa AB' và BC'. Tính $\cos \alpha$