Cho khai triển \({\left( {1 - 2x} \right)^n} = {a_0} + {a_1}x + {a_2}{x^2} + ... + {a_n}{x^n}\) biết \(S = \left| {{a_1}} \right| + 2\left| {{a_2}} \right| + ... + n\left| {{a_n}} \right| = 34992\). Tính giá trị của biểu thức \(P = {a_0} + 3{a_1} + 9{a_2} + ... + {3^n}{a_n}\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có: \({\left( {1 - 2x} \right)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{{\left( { - 2x} \right)}^k}} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{{\left( { - 2} \right)}^k}{x^k}} \)
\( \Rightarrow {a_k} = C_n^k.{\left( { - 2} \right)^k} \Rightarrow \left| {{a_k}} \right| = C_n^k{.2^k}\,\,\forall k = \overline {0;n} \).
Khi đó ta có:
\(S = \left| {{a_1}} \right| + 2\left| {{a_2}} \right| + ... + n\left| {{a_n}} \right| = C_n^1{.2^1} + 2.C_n^2{.2^2} + .... + n.C_n^n{.2^n}\)
Xét khai triển
\(\begin{array}{l}{\left( {1 + x} \right)^n} = \sum\limits_{i = 0}^n {C_n^i.{x^i}} = C_n^0 + C_n^1x + C_n^2{x^2} + ... + C_n^n{x^n}\\ \Rightarrow n{\left( {1 + x} \right)^{n - 1}} = C_n^1 + 2C_n^2x + ... + nC_n^n{x^{n - 1}}\end{array}\)
Thay \(x = 2\) ta có \(n{.3^{n - 1}} = C_n^1 + 2C_n^2.2 + ... + nC_n^n{.2^{n - 1}} \Rightarrow 2.n{.3^{n - 1}} = 2C_n^1 + 2C_n^2{.2^2} + ... + nC_n^n{.2^n}\)
\( \Rightarrow S = 2n{.3^{n - 1}} = 34992 \Leftrightarrow n{.3^{n - 1}} = 17496 \Leftrightarrow n = 8\).
Thay \(n = 8\) vào P ta có
\(\begin{array}{l}P = {a_0} + 3{a_1} + 9{a_2} + ... + {3^8}{a_8}\\P = C_8^0 + 3.C_8^1.{\left( { - 2} \right)^1} + {3^2}.C_8^2.{\left( { - 2} \right)^2} + ... + {3^8}.C_8^8.{\left( { - 2} \right)^8}\\P = C_8^0 - C_8^1{.6^1} + C_8^2{.6^2} - .... + C_8^8{.6^8}\\P = {\left( {1 - 6} \right)^8} = {5^8} = 390625\end{array}\)
Chọn D.
Đề thi thử THPT QG năm 2022 môn Toán
Trường THPT Thanh Xuân
Câu hỏi liên quan
-
Hàm số \(y = - {x^3} - 3{x^2} + 9x + 20\) đồng biến trên các khoảng.
-
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \dfrac{{ - 2x + 1}}{{x - 1}}\) bằng.
-
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\)liên tục trên đoạn \(\left[ { - 1;4} \right]\) và có đồ thị hàm số \(y = f'\left( x \right)\) như hình bên. Hỏi hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {{x^2} + 1} \right)\) nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?
-
Phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{x + 1}}{{x - 1}}\) song song với đường thẳng \(\left( \Delta \right):\,\,2x + y + 1 = 0\) là.
-
Gọi \(S\)là diện tích đáy, \(h\)là chiều cao. Thể tích khối lăng trụ là.
-
Giá trị cực tiểu của hàm số \(y = {x^4} - 2{x^2} - 3\)là.
-
Giá trị lớn nhất của hàm số \(y = \dfrac{{{x^2} - 3x}}{{x + 1}}\) trên đoạn \(\left[ {0;3} \right]\) bằng.
-
Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = \dfrac{1}{3}{x^3} - \left( {m + 1} \right){x^2} + \left( {m + 3} \right)x + m - 4\). Tìm để hàm số \(y = f\left( {\left| x \right|} \right)\) có 5 điểm cực trị?
-
Cho hàm số \(f(x)\) có đạo hàm \(f'(x)\) có đồ thị như hình vẽ. Hàm số \(g(x) = f(x) - \dfrac{{{x^3}}}{3} + {x^2} - x + 2\) đạt cực đại tại điểm nào?
.JPG)
-
Tính thể tích \(V\;\)của khối chóp có đáy là hình vuông cạnh \(2a\) và chiều cao là \(3a\)
-
Khoảng cách từ \(I(1; - 2)\) đến đường thẳng \(\Delta :3x - 4y - 26 = 0\) bằng.
-
Cho hàm số \(y = \dfrac{{2x}}{{x + 2}}\) có đồ thị \((C)\). Viết phương trình tiếp tuyến của \((C)\), biết tiếp tuyến tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng \(\dfrac{1}{{18}}\).
-
Thể tích khối lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh bằng a là.
-
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật, \(AB = a\). Cạnh bên \(SA\) vuông góc với mặt phẳng \((ABCD)\) và \(SA = a\). Góc giữa đường thẳng \(SB\) và \(CD\) là:
-
Biết \({m_0}\) là giá trị của tham số m để hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + mx - 1\) có hai điểm cực trị \({x_1},\,\,{x_2}\) sao cho \(x_1^2 + x_2^2 - {x_1}{x_2} = 13\). Mệnh đề nào dưới đây đúng?
-
Số cách xếp 5 người vào 5 vị trí ngồi thành hàng ngang là.
-
Đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{2x + 1}}{{x - 1}}\) có tiệm cận ngang là.
-
Hàm số \(y = {x^4} - 8{x^2} - 4\) nghịch biến trên các khoảng.
-
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\)có đồ thị như hình bên.
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để phương trình \(f\left( x \right) = m + 2\) có bốn nghiệm phân biệt.
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. SA\( \bot \)(ABCD) và \(SB = \sqrt 3 \). Thể tích khối chóp S.ABCD là.
