Cho hình lập phương \(ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'\) cạnh a. Tính diện tích toàn phần của vật thể tròn xoay thu được khi quay tam giác \(A{A}'{C}'\) quanh trục \(A{A}'\). 

Nếu \(\int\limits_{1}^{2}{f\left( x \right)\text{d}x=3},\text{ }\int\limits_{2}^{5}{f\left( x \right)\text{d}x=-1}\) thì \(\int\limits_{1}^{5}{f\left( x \right)\text{d}x}\)  bằng

Trong không gian Oxyz, viết phương trình đường thẳng d biết d song song với \(d':x - 4 = \frac{{y - 7}}{4} = \frac{{z - 3}}{{ - 2}}\), đồng thời cắt cả hai đường thẳng d₁ và d₂ với \({d_1}:\left\{ \begin{array}{l} x = t\\ y = - 1 + 2t\\ z = t \end{array} \right.,{\rm{ }}t \in R\) và \({d_2}:\frac{x}{1} = \frac{{y - 1}}{{ - 2}} = \frac{{z - 1}}{3}\).

Có bao nhiêu cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn đẳng thức \({\log _3}({\log _2}({e^{2x - y - 1}} - 2x + y + 2)) = {\log _2}({\log _3}( - {x^2} - 4{y^2} + 4xy - 2x + 4y + 2))\)

Tập nghiệm của bất phương trình \({\left( {\frac{1}{2}} \right)^{\frac{1}{{x - 1}}}} \ge \frac{1}{2}\) là

Xếp 10 quyển sách tham khảo khác nhau gồm: 1 quyển sách Văn, 3 quyển sách tiếng Anh và 6 quyển sách Toán (trong đó có hai quyển Toán T1 và Toán T2) thành một hàng ngang trên giá sách. Tính sác xuất để mỗi quyển sách tiếng Anh đều được xếp giữa hai quyển sách Toán, đồng thời hai quyển sách Toán T1 và Toán T2 luôn được xếp cạnh nhau.

Cho khối hộp chữ nhật có độ dài ba kích thước lần lượt là 4, 6, 8. Thể tích khối hộp chữ nhật đã cho bằng

Cho các số thực dương \(a,\text{ }b\) thỏa mãn điều kiện \(({{2}^{a+b+1}}+{{2}^{a+2b-1}})({{2}^{3a+4b-3}}+{{2}^{1-a-b}})={{2}^{2a+3b}}.\) Giá trị của biểu thức \(P={{a}^{2}}+{{b}^{2}}\) thuộc tập hợp nào dưới đây ?

Xét số thực a âm. Mệnh đề nào dưới đây đúng ?

Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{4}{x} + x + 1\) trên đoạn [1;3]. Khi đó M - m bằng

Cho hàm số f(x) có \(f'\left( x \right) = {x^3}{\left( {x + 1} \right)^2}\left( {x - 2} \right)\). Số điểm cực trị của hàm số đã cho là

Cho \({z_1} = 3 - i,\,\,{z_2} =  - 5 + 2i\). Phần ảo của số phức \(z = 3{z_1} - 5i{z_2}\) bằng

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu \(\left( S \right):\,{x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x + 8y - 2z + 12 = 0.\) Tâm của (S) có tọa độ là

Cho tập hợp A có 20 phần tử. Số tập hợp con có 3 phần tử được thành lập từ A là

Số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = {x^3} + x + 2\) với đường thẳng y =  - 2x + 1 là 

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và \(\widehat{ABC}=60{}^\circ \). Hình chiếu vuông góc của điểm S lên mặt phẳng \(\left( ABCD \right)\) trùng với trọng tâm của tam giác ABC, gọi \(\varphi \) là góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng \(\left( SCD \right)\), tính \(\sin \varphi \) biết rằng SB=a.

Cho cấp số nhân (u_n) với \({u_1} = 2\) và \({u_4} = 16\). Công bội của cấp số nhân đã cho bằng

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( \alpha  \right):2x + 3y + 2 = 0.\) Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của \(\left( \alpha  \right)?\)

Cho khối chóp S.ABC có thể tích bằng 1. Gọi I là trung điểm của cạnh SA và J là điểm thuộc cạnh SB sao cho SJ=2JB. Mặt phẳng chứa IJ và song song với SC cắt các cạnh \(BC,\text{ }CA\) lần lượt tại K và L. Thể tích khối đa diện SCLKJI bằng

Diện tích xung quanh của hình chóp tứ giác đều có chiều cao h và cạnh đáy bằng 2a là

Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {3^x} + \sin 2x\) là