Cho hình lăng trụ tam giác đều \(ABC.{A}'{B}'{C}'\) có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng 2a. Một hình trụ có hai đáy là hai hình tròn ngoại tiếp hai tam giác ABC và \({A}'{B}'{C}'.\) Diện tích xung quanh của hình trụ bằng

Tìm m để phương trình \(\cos 2x+2(m+1)\sin x-2m-1=0\) có đúng 3 nghiệm \(x\in \left( 0;\pi  \right).\)

Cho khối hộp \(ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'\) có thể tích bằng \({{a}^{3}}.\) Biết tam giác \({A}'BD\) có diện tích bằng \({{a}^{2}},\) khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng \(\left( {B}'{D}'C \right)\) bằng

Có bao nhiêu tiếp tuyến với đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{2x + 3}}{{x - 1}}\), biết tiếp tuyến song song vối đường thẳng \(y =  - 5x - 3\)

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l} x = 1\\ y = 2 + 3t\\ z = 5 - t \end{array} \right.(t \in R).\) Vectơ nào dưới đây là vectơ chỉ phương của d?

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a và cạnh bên bằng 3a. Một hình nón có đỉnh S và đáy là hình tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD. Diện tích xung quanh của hình nón bằng

Cho số phức \(z=a+bi(a,b\in \mathbb{R})\) thỏa mãn \(2z-5\bar{z}=-9-14i.\)

Tính S=a+b

Xét các số nguyên dương a,b sao cho phương trình \(b{{\ln }^{2}}x+a\ln x+3=0\) có hai nghiệm phân biệt \({{x}_{1}},{{x}_{2}}\) và phương trình \(3{{\log }^{2}}x+a\log x+b=0\) có hai nghiệm phân biệt \({{x}_{3}},{{x}_{4}}\) thỏa mãn \(\ln {{\left( {{x}_{1}}{{x}_{2}} \right)}^{10}}>\log {{\left( {{x}_{3}}{{x}_{4}} \right)}^{e}}.\) Tính giá trị nhỏ nhất \({{S}_{\min }}\) của S=5a+3b.

 Trong không gian Oxyz, cho điểm \(M\left( -3;2;5 \right).\) Tìm tọa độ điểm \({M}'\) là hình chiếu vuông góc của điểm M trên trục Ox.

Hàm số \(y={{x}^{4}}-2{{x}^{2}}\) đồng biến trên khoảng

Cho \(F\left( x \right)=\frac{-1}{2{{\sin }^{2}}x}\) là một nguyên hàm của hàm số \(\frac{f\left( x \right)}{{{\cos }^{2}}x}.\) Tìm họ nguyên hàm của hàm số \({f}'\left( x \right)\tan x.\)

Bất phương trình \({{2}^{{{x}^{2}}-3x+4}}\le {{\left( \frac{1}{2} \right)}^{2x-10}}\) có bao nhiêu nghiệm nguyên dương ?

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số \(y=-\frac{{{x}^{3}}}{3}+m{{x}^{2}}+2\) nghịch biến trên \(\mathbb{R}\)

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm \(A\left( 3;-1;2 \right)\) và \(B\left( 5;3;-2 \right).\) Mặt cầu nhận AB làm đường kính có phương trình là

Hàm số \(y=\frac{2x-1}{x-2}\) nghịch biến trên khoảng nào ?

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, xét mặt cầu có phương trình \({{x}^{2}}-2ax+{{y}^{2}}-2by+{{\left( z-c \right)}^{2}}=0,\) với a,b,c là các tham số và a,b không đồng thời bằng 0. Mệnh đề nào dưới đây đúng ?

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm là \({f}'\left( x \right)={{x}^{3}}{{\left( x-1 \right)}^{2}}\left( x+2 \right)\). Khoảng nghịch biến của hàm số là

Gọi \({{z}_{1}},{{z}_{2}}\) là hai nghiệm của phương trình \({{z}^{2}}+z+1=0.\) Tính \(P=z_{1}^{2020}+z_{2}^{2020}.\)

Cho biết ba số khác không a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số nhân. Mệnh đề nào dưới đây đúng ?

Cho lăng trụ tam giác đều \(ABC.{A}'{B}'{C}'\) có cạnh đáy bằng 2a; O là trọng tâm tam giác ABC và \({A}'O=\frac{2\sqrt{6}a}{3}.\) Thể tích của khối lăng trụ \(ABC.{A}'{B}'{C}'\) bằng

Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) xác định và liên tục trên \(\left( -\infty ;0 \right)\) và \(\left( 0;+\infty  \right)\) có bảng biến thiên như hình bên.

Mệnh đề nào sau đây đúng ?