Cho hình lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có đáy là tam giác vuông và \(AB=BC=a,AA'=a\sqrt{2},M\) là trung điểm \(BC. \) Tính khoảng cách \(d\) của hai đường thẳng \(AM\) và \(B'C. \)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có \(AB=BC=a\) nên \(\Delta ABC\) vuông cân tại \(B.\)
Thể tích khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) và \({{V}_{ABC.A'B'C'}}=AA'.{{S}_{\Delta ABC}}=a\sqrt{2}.\frac{1}{2}{{a}^{2}}=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{2}\) (đvtt).
Gọi \(E\) là trung điểm \(BB'.\) Khi đó \(B'C//EM\Rightarrow B'C//\left( AME \right).\)
Vậy \(d\left( AM,B'C \right)=d\left( \left( AME \right),B'C \right)=d\left( C,\left( AME \right) \right)=d\left( A,\left( AME \right) \right).\)
Gọi \(h\) là khoảng cách từ \(A\) đến \(\left( AME \right).\)
Ta nhận thấy tứ diện \(B.AME\) có \(BE,BM,BA\) đôi một vuông góc.
Khi đó \(\frac{1}{{{h}^{2}}}=\frac{1}{B{{M}^{2}}}+\frac{1}{B{{E}^{2}}}+\frac{1}{B{{A}^{2}}}\Leftrightarrow \frac{1}{{{h}^{2}}}=\frac{4}{{{a}^{2}}}+\frac{2}{{{a}^{2}}}+\frac{1}{{{a}^{2}}}=\frac{7}{{{a}^{2}}}\Rightarrow h=\frac{a\sqrt{7}}{7}.\)
Đề thi thử THPT QG năm 2021 môn Toán
Trường THPT Yên Dũng số 2 lần 3