Cho hình lăng trụ \(ABC.{A}'{B}'{C}'\) và M, N là hai điểm lần lượt trên cạnh CA, CB sao cho MN song song với AB và \(\frac{CM}{CA}=k\). Mặt phẳng \(\left( MN{B}'{A}' \right)\) chia khối lăng trụ \(ABC.{A}'{B}'{C}'\) thành hai phần có thể tích \({{V}_{1}}\) (phần chứa điểm C) và \({{V}_{2}}\) sao cho \(\frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=2\). Khi đó giá trị của k là
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai+ Vì ba mặt phẳng \((MN{B}'{A}').(AC{C}'{A}'),(BC{C}'{B}')\) đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt \({A}'M,{B}'N,C{C}'\) và \({A}'M,C{C}'\) không song song nên \({A}'M,{B}'N,C{C}'\) đồng qui tại S.
Ta có \(k=\frac{CM}{CA}=\frac{MN}{AB}=\frac{MN}{{A}'{B}'}=\frac{SM}{S{A}'}=\frac{SN}{S{B}'}=\frac{SC}{S{C}'}\)
+ Từ đó \({{V}_{S.MNC}}={{k}^{3}}{{V}_{S.{A}'{B}'{C}'}}\Rightarrow {{V}_{1}}={{V}_{MNC.{A}'{B}'{C}'}}=\left( 1-{{k}^{3}} \right){{V}_{S.{A}'{B}'{C}'}}\).
+ Mặt khác \(\frac{{{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}}{{{V}_{S.{A}'{B}'{C}'}}}=\frac{3C{C}'}{S{C}'}=\frac{3\left( S{C}'-SC \right)}{S{C}'}=3\left( 1-k \right)\Rightarrow {{V}_{S.{A}'{B}'{C}'}}=\frac{{{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}}{3\left( 1-k \right)}\)
Suy ra \({{V}_{1}}=\left( 1-{{k}^{3}} \right)\frac{{{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}}{3\left( 1-k \right)}=\frac{\left( {{k}^{2}}+k+1 \right).{{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}}{3}\).
+ Vì \(\frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=2\) nên \({{V}_{1}}=\frac{2}{3}{{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}\Rightarrow \frac{{{k}^{2}}+k+1}{3}=\frac{2}{3}\Leftrightarrow {{k}^{2}}+k-1=0\Rightarrow k=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}(k>0)\).
Vậy \(k=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\).
Đề thi thử THPT QG năm 2021 môn Toán
Trường THPT Trưng Vương lần 3
Câu hỏi liên quan
-
Cho hàm số bậc bốn \(y=f\left( x \right)\) có đồ thị như hình dưới đây. Số nghiệm của phương trình \(3f\left( x \right)+1=0\) là
.jpg.png)
-
Cho hình thang ABCD vuông tại A và D, AD=CD=a, AB=2a. Quay hình thang ABCD quanh cạnh AB, thể tích khối tròn xoay thu được là :
-
Có bao nhiêu giá trị của tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số \(y = \frac{{x – {m^2} – 2}}{{x – m}}\) trên đoạn \(\left[ {0;4} \right]\) bằng – 1.
-
Một trong bốn hàm số cho trong các phương án \(A,B,C,D\) sau đây có đồ thị như hình vẽ
.jpg.png)
Hỏi hàm số đó là hàm số nào?
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn \(f'\left( x \right)-xf\left( x \right)=0,f\left( x \right)>0,\forall x\in \mathbb{R}\) và \(f\left( 0 \right)=1.\) Giá trị của \(f\left( 1 \right)\) bằng?
-
Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y=\frac{x-1}{x+1}\) là
-
Cho hàm số \(y=f(x)\) có bảng biến thiên như hình bên.
.png)
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
-
Cho không gian Oxyz, cho điểm \(A\left( 0;1;2 \right)\) và hai đường thẳng \({{d}_{1}}:\left\{ \begin{align} & x=1+t \\ & y=-1-2t \\ & z=2+t \\ \end{align} \right.\), \({{d}_{2}}:\frac{x}{2}=\frac{y-1}{1}=\frac{z+1}{-1}\). Viết phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua A và song song với hai đường thẳng \({{d}_{1}},{{d}_{2}}\).
-
Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng \(\left( ABC \right),SA=\sqrt{3}.\) Tam giác ABC đều, cạnh a. Góc giữa SC và mặt phẳng \(\left( ABC \right)\) bằng:
.png)
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)={{x}^{3}}+a{{x}^{2}}+bx+c\) thỏa mãn c>2019, a+b+c-2018<0. Số điểm cực trị của hàm số \(y=\left| f(x)-2019 \right|\) là
-
Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm số \(y = {2^{{x^3} – {x^2} + mx + 1}}\) đồng biến trên \(\left( {1;2} \right)\).
-
Phần ảo của số phức \(w=-1+i\) là
-
Cho hai hàm số \(f\left( x \right)\) và \(g\left( x \right)\) có đạo hàm trên đoạn \(\left[ 1;\,4 \right]\) và thỏa mãn hệ thức \(\left\{ \begin{align} & f\left( 1 \right)+g\left( 1 \right)=4 \\ & g\left( x \right)=-x.{f}'\left( x \right);\,\,\,\,\,f\left( x \right)=-x.{g}'\left( x \right) \\ \end{align} \right.\). Tính \(I=\int\limits_{1}^{4}{\left[ f\left( x \right)+g\left( x \right) \right]\text{d}x}\).
-
Nghiệm của phương trình 2x-3 = 0,5 là
-
Cho hàm số \(y=f(x)=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d\) có đồ thị như hình dưới đây
.jpg.png)
Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\in \left( -5;5 \right)\) để phương trình \({{f}^{2}}(x)-(m+4)\left| f(x) \right|+2m+4=0\) có 6 nghiệm phân biệt
-
Cho hai số phức z1 = 1+i và z2 = 2-3i. Tính mô đun của số phức z1 + z2
-
Cho hàm số \(y=f(x)\) có đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên. Hàm số \(f(x)\) đạt cực đại tại điểm nào sau đây?
.jpg.png)
-
Diện tích xung quanh của hình nón có độ dài đường sinh \(l\) và bán kính \(r\) bằng
-
Cho số phức z có \(\left| z \right|=2\) thì số phức \(\text{w}=z+3i\) có modun nhỏ nhất và lớn nhất lần lượt là:
-
Cho các số thực a,b,c thỏa mãn \({{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-2a-4b=4\). Tính P=a+2b+3c khi biểu thức \(\left| 2a+b-2c+7 \right|\) đạt giá trị lớn nhất.
